Kubische Funktion faktorisieren

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Bux Auf diesen Beitrag antworten »
Kubische Funktion faktorisieren
Meine Frage:
Wie gehe ich an die Aufgabe, wenn ich eine kubische Funktion faktorisieren möchte.

x^3+(-5/3)x^2-2x+(8/3)

Meine Ideen:
Überhauht keine Idee, wie ich die Aufgabe angehen kann.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Bux,

weißt du generell, wonach man sucht, wenn man (ganzrationale) Funktionen faktorisieren möchte?

Hier würde man dann nach einem bestimmten Schema probieren. Ich würde dafür den Hauptnenner aus der Funktion ausklammern, das ist hier 1/3. Sobald das Probieren zum Erfolg führt, kann man entweder mit Polynomdivision oder - noch etwas schlanker und schneller - mit dem Horner-Schema weiter machen.

LG
sibelius84
 
 
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kubische Funktion faktorisieren
Grundsätzlich lassen sich Nullstellen von kubischen Funktionen mit den Cardanischen Formeln berechnen. Eine gute Seite ist hier.

Wenn das eine Schulaufgabe ist, ist es aber meistens so, dass man eine erste Nullstelle "sehen kann", dann folgt Polynomdivision und pq-Formel.

Viele Grüße
Steffen, mal wieder zu spät - Dein Kunde, Sibelius!
Bux Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kubische Funktion faktorisieren
Nullstellen sind nicht gefragt. Gefragt ist eine andere schreibweise:

(x-?)(x-?)(x-?)
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kubische Funktion faktorisieren
Naja, das sind im Prinzip zwei Seiten der selben Medaille. Betrachten wir mal die Funktion



die sich faktorisiert zu



Anhand der faktorisierten Darstellung erkennt man: Wenn man 1 in die Funktion einsetzt, kommt 0 raus (denn für x=1 ist x-1=0 und daher auch (x-1) multipliziert mit dem Rest gleich Null). Für x=2,3 analog.

Und das ist auch kein Zufall: Wenn ein Polynom eine Nullstelle a hat, dann kann man immer den Linearfaktor (x-a) (der für diese Nullstelle "verantwortlich zeichnet") abspalten.

Also - auch, wenn die nicht explizit gefragt sind, empfiehlt es sich bei Faktorisierungswünschen stets, nach den Nullstellen zu suchen.

Wäre dir bei der obigen Funktion klar, wie man eine der Nullstellen hätte 'erraten' können?

Bei Funktionen von dem Typ wie von dir gepostet ist das Auffinden der ersten Nullstelle noch einen kleinen Tick schwieriger, aber vielleicht erstmal bis hierher, der Tag ist ja noch lang.


Zitat:

Viele Grüße
Steffen, mal wieder zu spät - Dein Kunde, Sibelius!


Tanzen

Zu spät gibt's nicht. Mathematik ist zeitlos. Die Essener Ana-Profs haben das teilweise verstanden. Bei denen fängt die Klausur zB um 11 oder 12 an - und zu Ende ist sie, wenn der letzte fertig geschrieben hat, bei mir war das damals glaube ich 18 Uhr und der Letzte natürlich ich Big Laugh
Bux Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kubische Funktion faktorisieren
Ich würde vermutlich versuchen, die 6 in 3 Faktoren aufzuteilen. Am einfachsten immer in 2 und dann multipliziert mit 1.
Bux Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kubische Funktion faktorisieren
In meinem Fall 4/3, 2, 1
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Die 1 stimmt und der Rest vermutlich auch Augenzwinkern

Nun hast du eine ganzrationale Funktion dritten Grades mit drei unterschiedlichen Nullstellen. Weißt du, ob es noch mehr Nullstellen geben kann? Kannst du jetzt evtl schon Rückschlüsse auf die Faktorisierung ziehen?
(Tipp - mit deiner Vorarbeit kannst du jetzt sogar ohne Polynomdivision bzw. Horner-Schema auskommen)
Bux Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das ist mein Problem. Da habe ich irgendwie keinen Draht zu. Grundsätzlich wird es noch mehr Möglichkeiten geben, da die Vorzeichen noch nicht bekannt sind.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, Du hast Glück: eine Funktion dritten Grades hat maximal drei Nullstellen.

Wenn Du die richtig bestimmt hast (prüf Deine noch mal nach!), kannst Du die also direkt in die empfohlene Form einsetzen.
Bux Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, Nullstellen habe ich geprüft.

x1=1
x2=2
x3=-4/3

Aber weiß nur nicht, wie mich das weiterbringen soll. Mein Hirn ist wie zugenagelt.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Der Kollege hat es doch schon so schön erklärt.

Bei welchen x-Werten wird denn Null? Beachte, dass das ein Produkt ist, das genau dann Null wird, wenn...

Und eine Funktion wird ja dann Null, wenn x eine Nullstelle ist.
Bux Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man, heist das, für meine Aufgabe

(x-1)(x-2)(x+4/3) ?

Dann habe ich wirklich ziemlich auf dem Schlauch gestanden.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Bingo!

Viele Grüße
Steffen
Bux Auf diesen Beitrag antworten »

Viele Dank für die Hilfe!

Mathematik kann so "einfach" sein!!!
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