Mengenbeweis

16.10.2017, 10:58

Pythagoras 1235

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Mengenbeweis

Hallo Leute, es geht um folgenden Beweis:
Seinen X und Y beliebige Mengen und eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f:X\to Y \end{eqnarray*}$ dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} U\subset X \end{eqnarray*}$ :

f(X)\f(U) $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ f(X\U)

Ich weis nicht wie der \ in Latex geht.

Meine Idee:

Sei y $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ f(X)\f(U) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \exists x\in \end{eqnarray*}$ (X\U) : f(x)=y,

d.h $\begin{eqnarray*} x\in X \wedge x\notin U \end{eqnarray*}$ : f(x)=y

Daraus folgt : $\begin{eqnarray*} y\in \end{eqnarray*}$ f(X\U)

Ist das so richtig?

16.10.2017, 11:39

sibelius84

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Hallo Pythagoras 1235,

es sieht nicht schlecht aus, was du machst, aber der allererste Folgerungspfeil erscheint mir ziemlich "hastig". Könntest da evtl noch 1-2 Schritte zusätzlich machen oder genauer begründen, denke ich.

Grüße
sibelius84

16.10.2017, 11:41

Pythagoras 1235

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Ich hätte gedacht, dass es nicht genauer geht. Wie würdest du denn das machen verwirrt

verwirrt

smile

16.10.2017, 12:03

IfindU

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RE: Mengenbeweis
Das mengentheoretische "Ohne" (mengentheoretische Minus) ist in LaTeX durch \setminus gegeben. Damit liest die von sibelius bereits als kritisch eingestufte Zeile als

Zitat:

Original von Pythagoras 1235
Sei $\begin{eqnarray*} y \in f(X)\setminus f(U) \Rightarrow \exists x\in (X\setminus U) : f(x)=y, \end{eqnarray*}$

16.10.2017, 12:07

sibelius84

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Hallo Pythagoras,

naja,

$\begin{eqnarray*} y\in f(X)\backslash f(U) \end{eqnarray*}$

bedeutet ja zunächst mal nur

$\begin{eqnarray*} f(x) = y (x \in X) \end{eqnarray*}$ .

Warum genau kann jetzt dieses x da nicht in U sein?

(Beim Machen gerade habe ich auch gemerkt, dass es eigentlich ziemlich trivial ist. Das ist oft so ein wenig der Konflikt. Man kann nur versuchen, wirklich jeden Schritt einzeln zu gehen.)

Grüße
sibelius84

16.10.2017, 12:13

Pythagoras 1235

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Was ist das für eine Schreibweise: f(x)=y(x element X)?
X\U ist ja so definiert dass x nicht in u ist, also kann es auch nicht drin sein, wenm f angewendet wird. Meinst du so?

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16.10.2017, 13:25

Pythagoras 1235

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Danke IfindU mit der Latex Hilfe Freude

Freude

smile

Ich habe das erst gar nicht gesehen smile

smile

Stimmen das so was ich oben geschrieben habe?

16.10.2017, 15:47

Pythagoras 1235

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Kann mir jmd bitte weiterhelfen? Gott

Gott

16.10.2017, 16:12

IfindU

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Da sibilius wohl gerade nicht da ist. Ich würde erst einmal 2 Fälle unterscheiden. $\begin{eqnarray*} f(X) \setminus f(U) = \emptyset \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(X) \setminus f(U) \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ .
Der erste Fall ist trivial abgehakt und im zweiten kann man sinnvoll von $\begin{eqnarray*} y \in f(X) \setminus f(U) \end{eqnarray*}$ reden. Dann gibt es nach Definition von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ also ein $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) = y \end{eqnarray*}$ . Jetzt muss man noch ausschliessen, dass $\begin{eqnarray*} x \in U \end{eqnarray*}$ liegt, damit deine Folgerung durch geht.

Bemerke, dass $\begin{eqnarray*} \{ x\in X \setminus U: f(x) = y\} \end{eqnarray*}$ gerade die Definition von $\begin{eqnarray*} f(X \setminus U) \end{eqnarray*}$ ist, nicht die von $\begin{eqnarray*} f(X) \setminus f(U) \end{eqnarray*}$ . Genau um die Unterscheidung geht es ja in dem Beweis, deswegen sollte man da wirklich sauber sein.

Edit: Hier war ich extrem unsauber -- aka es war falsch.

Richtig wäre $\begin{eqnarray*} \{ f(x): x\in X \setminus U \} = f(X \setminus U) \end{eqnarray*}$ .

16.10.2017, 16:20

Pythagoras 1235

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Also zum 1. Fall: Wenn f(X)\f(U) leer ist, ist das eine Teilmenge von f(X\U), da die leere Menge immer Teilmenge jeder Menge ist. Für mich ist das leider noch nicht so trivial. Stimmt das?
Im 2. Fall sehe ich es nicht. Kannst du mir da einen Tipp geben bitte?

16.10.2017, 16:22

IfindU

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1. Fall: Stimmt. Und du wirst Probleme haben mich zu überzeugen das sei nicht trivial gewesen Big Laugh

Big Laugh

2. Fall: Versuch mal einen Widerspruch: Angenommen $\begin{eqnarray*} x \in U \end{eqnarray*}$ . Kann dann $\begin{eqnarray*} y \in f(X) \setminus f(U) \end{eqnarray*}$ sein?

16.10.2017, 16:33

Pythagoras 1235

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1.Ok vllt schon Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

2. Wenn x in U ist, dann wäre y Element von f(U) , denn y=f(x)
D.h das kann aber nicht sein, da denn y liegt in f(X) und nicht in f(U).
Sorry, dass ich nicht in Latex schreibe aber mein Pc ist gerade in Reperatur. Stimmt das irgendwie?1 verwirrt

verwirrt

16.10.2017, 16:37

IfindU

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Ja, das stimmt. Auch das ist ziemlich einfach. Aber man muss sich aber wirklich den Moment nehmen und es sich klar machen. Sonst verwischt der Unterschied $\begin{eqnarray*} f(X) \setminus f(U) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(X \setminus U) \end{eqnarray*}$ zu sehr.

Beachte, z.b., dass für $\begin{eqnarray*} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ , die konstante Nullfunktion und $\begin{eqnarray*} X = \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U = \{ 1 \} \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} f(X) \setminus f(U) = \{ 0 \} \setminus \{ 0 \} = \emptyset \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} f( X \setminus U ) = f ( \mathbb R \setminus \{ 1 \} ) = \{ 0 \} \end{eqnarray*}$ . Die Beiden sind wirklich nicht gleich, die eine Menge kann echt kleiner sein als die andere.

16.10.2017, 16:39

Pythagoras 1235

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Ok das heißt wenn ich das bewiesen habe, kann ich mit meinem Beweis weitermachen?

16.10.2017, 16:42

IfindU

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Kannst du. Freude

Freude

Edit: Bemerke meinen vorigen Edit paar Posts hoeher. Hab bisschen Stuss geschrieben. Forum Kloppe

Forum Kloppe

16.10.2017, 16:47

MathNoob28

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ich gehöre nicht dazu aber muss U immer nur ein Element enthalten bei deinem Beispiel mit der Nullfunktion

16.10.2017, 16:54

IfindU

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Nein. Jedes $\begin{eqnarray*} \emptyset \subsetneq U \subsetneq \mathbb R \end{eqnarray*}$ würde exakt das gleiche liefern.

Der Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} f(X) \setminus f(U) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(X \setminus U) \end{eqnarray*}$ entsteht durch die Nicht-Injektivität von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ hier so Nicht-Injektiv wie möglich gewählt wurde, kann $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ absurd beliebig gewählt werden.

Auf der anderen Seite: Ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv, so gilt Gleichheit. Ferner gilt $\begin{eqnarray*} f(X) \setminus f(U) =f(X \setminus U) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} U \subset X \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv.

16.10.2017, 17:03

Pythagoras 1235

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@IfindU Danke für deine Hilfe smile

smile

Es gäbe noch eine 2. Aufgabe wie folgt: Sei U Teilmenge von Y dann gilt.

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(Y\setminus U)=X\setminus f^{-1}(U) \end{eqnarray*}$
Die Gleichheit zeigt man ja, dass das eine Teilmenge des anderen ist und umgekehrt. Hier würde ich aber Äquivalenzpfeile verwenden. Geht das auch?
Ich poste gleich meine Ideen. Dauert nur länger mit Latex am Handy Big Laugh

Big Laugh

16.10.2017, 17:15

Pythagoras 1235

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Meine Lösung

16.10.2017, 17:26

IfindU

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Die einzige kritische Stelle scheint nur $\begin{eqnarray*} f(x) \not\in U \iff x \not\in f^{-1}(U) \end{eqnarray*}$ . Wenigstens ich muss es mir erst klar machen.

16.10.2017, 18:01

Pythagoras 1235

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Der Professor hat das bei einer ähnlichen Aufgabe auch einfach übergangen. Was muss denn hier genau gesagt werden?

16.10.2017, 18:14

sibelius84

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Hallo,

bin (vorläufig) wieder da... smile

smile

Als Definition der Urbildmenge kenne ich

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(U) := \{\, x\in\mathbb{D}_f\,\mid\,f(x) \in U\} \end{eqnarray*}$

und denke, falls der "Professor von Pythagoras" (klingt irgendwie witzig Big Laugh

Big Laugh

) das genauso definiert hat, dann reicht das von der Ausführlichkeit her.

Grüße
sibelius84

16.10.2017, 19:00

Pythagoras 1235

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Was wäre denn an der Stelle kritisch?
Was kann man da genauer machen?

16.10.2017, 19:03

IfindU

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Kritisch heißt ich musste mir klar machen, was da eigentlich steht und das mit dem $\begin{eqnarray*} \not\in \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ . Hätte dort $\begin{eqnarray*} f(x) \in U \iff x \in f^{-1}(U) \end{eqnarray*}$ gestanden, hätte ich es direkt als Definition identifiziert. So war ich etwas verwirrt. Was einfach gegen mich, nicht gegen dein Argument, spricht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.10.2017, 19:11

Pythagoras 1235

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aso

Augenzwinkern

Trotzdem wenn dir etwas kritisch vorkommt, bin ich alarmiert, dass ich was falsch gemacht habe Big Laugh

Big Laugh

Hier kann ich das mit den Äquivalenzpfeilen so machen oder?

16.10.2017, 19:14

IfindU

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Kannst du

Freude

16.10.2017, 19:29

Pythagoras 1235

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Vielen lieben Dank Freude

Freude

Freude

Freude

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