Parabolische Koordinaten

16.10.2017, 20:12	Schlomo199	Auf diesen Beitrag antworten »
Parabolische Koordinaten Guten Abend zusammen, Ich habe das Vergnügen das Linienelement parabolischer Koordinaten zu bestimmen. Leider kann ich die allgemeine Definition nicht auf die Aufgabe beziehen. $\begin{eqnarray} \vec {r}= \begin{pmatrix} (u^2-v^2)/2 \\ uv \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun komme ich kaum weiter. Ich finde viele Definitionen für Linienelemente, doch ich kann die Schreibweise nicht anwenden. So ist eine: $\begin{eqnarray} dr = e_a dx^a \end{eqnarray}$ , wobei e ein Einheitsvektor ist. bzw. $\begin{eqnarray} ds^2=\sum\limits_{a} dx^a dx^a = \sum\limits_{a,i,j}\frac{\partial x^a}{\partial q^i} \frac{\partial x^a}{\partial q^j} dq^i dq^j \end{eqnarray}$ Da steckt ganz bestimmt irgendwie die Lösung drin. Das Problem: Ich verstehe die Schreibweise absolut nicht. Kann mir eventuell jemand einen Tipp geben?
17.10.2017, 10:03	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz allgemein versteht man unter dem Linienelement den differenziellen Abstand zweier dicht benachbarter Punkte $\begin{eqnarray} \vec x(t) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec x(t+\Delta t) \end{eqnarray}$ auf einer Kurve $\begin{eqnarray} \vec x(t) \end{eqnarray}$ . In kartesischen Kooordinaten hat man also $\begin{eqnarray} ds=\sqrt{[\vec x(t+\Delta t)-\vec x(t)]^2} \end{eqnarray}$ Wegen der dichten Nachbarschaft beider Punkte kann man den zweiten Punkt $\begin{eqnarray} \vec x(t+\Delta t) \end{eqnarray}$ in einer Taylorreihe entwickeln gemäß $\begin{eqnarray} \vec x(t+\Delta t)\approx\vec x(t)+\dot {\vec x}\cdot{dt}\Delta t \end{eqnarray}$ . Setzt man dies in die obige Formel ein, ergibt sich folgendes Linienelement in kartesischen Koordinaten $\begin{eqnarray} ds=\sqrt{\dot {\vec x}\cdot \dot {\vec x}}\,dt \end{eqnarray}$ ________________________________Formel (1) Oft will man dieses Linienelement in anderen Koordinaten haben. Speziell bei parabolischen Koordinaten hat man folgende Koordinatentransformation $\begin{eqnarray} (x,y)\rightarrow (u,v) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec x=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \tfrac{1}{2}\cdot (u^2-v^2) \\ uv \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ _____________________Formel (2) Zur Berechnung des zugehörigen Linienelementes (1) benötigen wir die Ableitung $\begin{eqnarray} \dot {\vec x} \end{eqnarray}$ . Differenzieren der Koordinatentransformation (2) liefert $\begin{eqnarray} \dot {\vec x}=\begin{pmatrix} \dot x \\ \dot y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \dot u u-\dot v v \\ \dot u v+\dot v u \end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix} u& -v \\ v& u \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \dot u \\ \dot v \end{pmatrix}}_{\text{Matrixform}} \end{eqnarray}$ Setzt man dies in (1) ein, erhält man das Linienelement in parabolischen Koordinaten $\begin{eqnarray} ds=\sqrt{\begin{pmatrix} u& -v \\ v& u \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \dot u \\ \dot v \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} u& -v \\ v& u \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \dot u \\ \dot v \end{pmatrix}}\,dt=\sqrt{\begin{pmatrix} \dot u \\ \dot v \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} u& -v \\ v& u \end{pmatrix}^T\begin{pmatrix} u& -v \\ v& u \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \dot u \\ \dot v \end{pmatrix}}\,dt=\sqrt{\begin{pmatrix} \dot u \\ \dot v \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} u^2+v^2& 0 \\ 0&u^2+v^2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \dot u \\ \dot v \end{pmatrix}}\,dt \end{eqnarray}$ Oft schreibt man $\begin{eqnarray} \dot u=\tfrac{du}{dt} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \dot v=\tfrac{dv}{dt} \end{eqnarray}$ und "kürzt" den Faktor dt weg. Dann erhält man für das Linienlement in parabolischen Koordinaten $\begin{eqnarray} ds=\sqrt{\begin{pmatrix} du \\ dv \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} u^2+v^2& 0 \\ 0&u^2+v^2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} du \\ dv \end{pmatrix}} \end{eqnarray}$ Mitunter betrachtet man anstelle des Linienelementes ds dessen Quadtrat ds². Quadrieren der letzten Formel ergibt demnach folgende quadratische Form $\begin{eqnarray} ds^2=\begin{pmatrix} du \\ dv \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} u^2+v^2& 0 \\ 0&u^2+v^2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} du \\ dv \end{pmatrix}=(u^2+v^2)\cdot [(du)^2+(dv)^2] \end{eqnarray}$
17.10.2017, 13:09	Schlomo199	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, vielen Dank! Das hat geholfen

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