Beweis zu Integral gleich Null (Lebesgue-integrierbare Funktion)

17.10.2017, 11:23	Bea_93	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis zu Integral gleich Null (Lebesgue-integrierbare Funktion) Meine Frage: Hallo liebe Mathefreunde :-) Ich habe eine Frage zu einer Aufgabe meines aktuellen Übungsblattes. Die Aufgabe lautet wie folgt: Let f: [0, $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ ) --> $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ be Lebesgue integrable function, such that $\begin{eqnarray} \int_{0}^{t} \! f(x) \, dx =0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall t\geq 0 \end{eqnarray}$ Show that f(x)=0 a.e. on [0, $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ ). Meine Ideen: Nun zu meiner Lösungsidee: Ich kenne das Theorem: "Let f be an integrable function. If $\begin{eqnarray} \int_{E} \! f(x) \, dx =0 \end{eqnarray}$ for every measurable set E, then f=0 a.e." Da ich ja eine integrierbare Funktion gegeben habe, müsste ich ja nur noch zeigen, dass mein Integral für jede messbare Menge E gleich Null ist und könnte dann das Theorem anwenden und hätte den Beweis, oder? Diese messbaren Mengen E wären bei meinem Beispiel ja die Intervalle [0;t], [0, $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ ), [0,a], [a, $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ ) ,a $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ [0, $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ ). Wie man zeigt, dass das Integral für diese Mengen jeweil Null ist, weiß ich glaube ich auch :-) Liege ich damit soweit richtig? Vielen lieben Dank schon Mal! Liebe Grüße :-)
17.10.2017, 12:25	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht in die richtige Richtung. Es gibt aber viel mehr messbaren Mengen $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ . Deine Intervalle erzeugen aber die Borel- $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra.
18.10.2017, 19:13	Bea_93	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh dankeschön, mir ist selbst auch gerade aufgefallen, dass die Menge [a;t] noch fehlt. Die habe ich vergessen. Dies sollte dann aber genügen, oder stehe ich gerade auf dem Schlauch? Dankschön auf jeden Fall schonmal!
18.10.2017, 19:19	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin ehrlich gesagt davon ausgegangen, dass $\begin{eqnarray} [0,t] \end{eqnarray}$ ein Tippfehler deinerseits war. Was soll denn $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ sein? Die Borel-Sigma-Algebra auf $\begin{eqnarray} [0, \infty) \end{eqnarray}$ ist erzeugt durch alle Intervalle der Form $\begin{eqnarray} [0, a), \quad a \in \mathbb R \end{eqnarray}$ . Du hattest noch ein paar mehr gelistet, aber weil eine $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra Vereinigungen und Komplemente enthält, sind die anderen nicht nötig. Wikipedia listet noch paar erzeugende Systeme für $\begin{eqnarray} ( -\infty, \infty) \end{eqnarray}$ auf: Link.

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