Parametrisierung des Weges

17.10.2017, 13:24

Schlomo199

Parametrisierung des Weges

Hallöchen zusammen,
ich habe da etwas aus der theoretischen Physik, sollte aber ganz gut hier rein passen.
Leider musste ich lediglich eine Grundlagenvorlesung der Mathematik hören. Das rächt sich gerade ein wenig im fundamentalen Verständnis.

Folgende Aufgabe ist zu bearbeiten:
Betrachte das Vektorfeld $\begin{eqnarray*} \vec{g} (x,y) := (-y,x)^t \end{eqnarray*}$ und die drei Punkte $\begin{eqnarray*} \vec{r_1}= (a,0)^t, \vec{r_2} = (0,a)^t, \vec{r_2} = (-a,0)^t \end{eqnarray*}$ .

Bestimme die Wegparametrisierung $\begin{eqnarray*} [0,1] \rightarrow \gamma_i(t) \end{eqnarray*}$ der geschlossenen Kurven:

i) $\begin{eqnarray*} \gamma_D \end{eqnarray*}$ vom Dreieck: $\begin{eqnarray*} \vec{r_1} \rightarrow \vec{r_2} \rightarrow \vec{r_3} \rightarrow\vec{ r_1} \end{eqnarray*}$ .

Meine Idee / Frage
Wie gehe ich mit der Parametrisierung genau um? Ich habe eine alte Aufgabe bearbeitet, aber $\begin{eqnarray*} \left[0,1\right] \rightarrow \gamma_i(t) \end{eqnarray*}$ hat da meiner Ansicht nach herzlich wenig Bedeutung.
Nach meiner Parametrisierung habe ich

$\begin{eqnarray*} \gamma_1: [0,1] \rightarrow \vec{r_1}(t) =\begin{pmatrix} 0 \\ at \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \gamma_2: [0,1] \rightarrow \vec{r_2}(t) =\begin{pmatrix} at \\ -at \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \gamma_3: [0,1] \rightarrow \vec{r_3}(t) =\begin{pmatrix} -at \\ -at \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \gamma_4: [0,1] \rightarrow \vec{r_1}(t) =\begin{pmatrix} 2at \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Kann das sein?
Ich zeige grundsätzlich vom Ursprung auf den Punkt. die Bedeutung [0,1] -> Gamma verstehe ich in dem Kontext leider nicht ganz.

Vielen Dank!

17.10.2017, 14:21

sibelius84

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Hallo Schlomo199,

welcher Weg von wo nach wo führt, kriegst du ganz leicht raus, indem du (durch Einsetzen von t=0 bzw. t=1) Anfangs- und Endpunkt der Wege betrachtest. Dein erster Weg führt also bspw von (0,0) nach (0,a).

Das wirst du wahrscheinlich schon wissen, aber trotzdem noch mal für V&V (= Vorsicht & Vollständigkeit):

Funktionen werden im Allgemeinen z.B. so geschrieben:

$\begin{eqnarray*} f\colon\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}, x\mapsto f(x):=x^2 \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} g\colon\mathbb{R}^+\longrightarrow \mathbb{R}^+, x\mapsto g(x):=x^2 \end{eqnarray*}$ .

Die Funktionsterme von f und g sind offenbar identisch; trotzdem gilt f ungleich g, da etwa f(-1)=1 und g(-1) nicht definiert. (Da man solche Funktionen sinnvollerweise nicht als gleich ansehen möchte, wird das meist direkt so definiert: f: A-> B .... und g: X-> Y ..... sind gleich genau dann, wenn A=X,B=Y und alle Bilder gleich.) Insbesondere ist g eine Bijektion, und f ist weder injektiv noch surjektiv.

Also,

$\begin{eqnarray*} \gamma\colon [0,1] \longrightarrow \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$

bedeutet, dass die Kurve über dem Intervall [0,1] parametrisiert ist. Die Punkte der Kurve sind also Punkte aus dem R^n, die in der Form $\begin{eqnarray*} \gamma(t) \end{eqnarray*}$ mit t aus [0,1] geschrieben werden.

Manchmal wird auch definiert, dass Kurven $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ über beliebigen Intervallen [a,b] definiert sein können. Dann setzt du einfach

$\begin{eqnarray*} \gamma(t) := \delta(a + t(b-a)) \end{eqnarray*}$ ,

um eine Kurve im Sinne eurer 'strengeren' Definition, die nur das Intervall [0,1] als Parameterintervall zulässt, zu bekommen.

Grüße
sibelius84

17.10.2017, 14:25

Schlomo199

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Zitat:

Dein erster Weg führt also bspw von (0,0) nach (0,a).

Ist mein erster Vektor mit (0, at)^t also richtig?
Für t=1 kommt dann ja genau der Punkt raus.

17.10.2017, 16:30

sibelius84

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Ok, der Endpunkt (0,a) ist richtig. Aber der Anfangspunkt soll doch (a,0) sein, oder?

(vorsorglicher Tipp: Wenn man etwas rumdrehen will, mit 1-t arbeiten)

17.10.2017, 17:49

Schlomo199

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Also der Weg von (0,a) auf (a,0)
Wäre dann a*(t, 1-t)^t

right?

17.10.2017, 22:37

sibelius84

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Ja, schaut gut aus. (Dieses "^t" am Ende ist merkwürdig, aber wahrscheinlich nur "Notation".)

19.10.2017, 20:52

mYthos

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Das hochgestellte "t" soll "transponiert" bedeuten. Allerdings schreibt man es groß "T"
Man verwendet dies, wenn ein Vektor (a; 0) nicht als Zeilenvektor, sondern als Spaltenvektor verstanden werden soll:

$\begin{eqnarray*} (a; 0)^T = \begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Unglücklicherweise kollidiert dies hier ausgerechnet mit dem Parameter $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , welcher etwas völlig anderes bedeutet.

mY+

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