Bild von Funktionen

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Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »
Bild von Funktionen
Ich will das Bild von folgenden Funktionen bestimmten.
1.f(x)=3-x
2. g(x)=x^2-1
3.fog= 3-x^2+1=2-x^2
4. gof=(3-x)^2-1=9 -6x+x^2-1=8-6x+x^2=(x-2)(x-4)


Das Bild bei 1 wäre doch alle reellen Zahlen.
2. Alle Zahlen von -1 bis unendlich
3. Alle Zahlen von 2 bis-unendlich
4. Alle Zahlen von -1 bis unendlich

Ist das so korrekt? smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bild von Funktionen
Zitat:
Original von Peter5774
3.fog= 3-x^2+1=2-x^2

Das ist falsch.

Zitat:
Original von Peter5774
Das Bild bei 1 wäre doch alle reellen Zahlen.

Das kommt auf den Definitionsbereich an. smile
 
 
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bild von Funktionen
Es ist Ich weis nicht wie der normale Pfeil geht.
Stimmt der Rest dann bis auf 3?
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bild von Funktionen
Für g gilt das auch.
fog=4-x^2. Das Bild wäre dann von 4 bis -unendlich.
So smile
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht gut aus. Nur die Ergebnisse dann noch schön formal sauber aufschreiben. Augenzwinkern
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja klar smile
Jetzt müsste ich entscheinden, ob die Funktionen injektiv oder surjektiv sind. Soll ich da die Definition anwenden oder wie ist es am besten?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz genau so ist es! smile
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann sind doch alle Funktionen bis auf 1 nicht surrjektiv, da das Bild nicht ganz R ist. Deshalb wäre nur 1 surjektiv oder?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe den Eindruck, das Anwenden der Definition hat geklappt Freude
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »

Reicht das als Begründung?
2-4 sind nicht injektiv, denn ich kann jeweils ein Beispiel finden wo x1=x2 daraus folgt f(x1)ungleich f(x2)
1 ist injektiv. Nur weis ich nicht wie ich das begründen kann?
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »

1 ist injektiv, denn

Stimmt das andere?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Jap! Freude Du kannst von mir aus gerne öfter hier vorbeischauen Augenzwinkern
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön sibelius84 Freude smile
Ich hätte noch eine Teilaufgabe b. Sei . Ich muss für meine 4 Funktionen
Meine Ideen:
Ich würde bei der 1. Funktion diese mit den Intervallgrenzen gleichsetzten, dann erhalte ich
Bei der 2. muss es ja aucg so gehen. Aber irgendwie weis ich nicht wie ich das genau mit der Parabel machen soll. Stimmt 1? Hammer
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Peter5774
ich kann jeweils ein Beispiel finden wo x1=x2 daraus folgt f(x1)ungleich f(x2)

Das wirst du kaum finden. Wenn x1=x2 ist, dann ist auch f(x1) = f(x2). Das hat auch mit der Injektivität nichts zu tun.

Zitat:
Original von Peter5774
Ich würde bei der 1. Funktion diese mit den Intervallgrenzen gleichsetzten, dann erhalte ich

Nur mit den Intervallgrenzen zu arbeiten, funktioniert nicht oder bestenfalls rein zufällig.
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »

Für injektivität muss gelten
Das gilt doch bei 2 bis 4 nicht, denn ich finde doch jeweils oder?

Wie mache ich das dann mit dem Urbild im Intervall?
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein das stimmr nicht ich finde x_1\neq x_2\Rightarrow f(x_1)=f(x_2)
Und das stimmt ja laut Definition der Implilation. Wie ich kann das jetzt beweisen? Hammer
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine das
Wo ist der Denkfehler
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, jetzt habe ich leider den Faden verloren. Worum geht es denn jetzt im Moment?
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht um den Test der Injektivität der Funktionen 2-4. Es gilt ja
Aber die Defintion von Injektivitöt ist ja , Also sind 2-4 nicht injektiv
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Peter5774
Es geht um den Test der Injektivität der Funktionen 2-4. Es gilt ja

Exakter: es gibt x_1 und x_2 mit . Wenn du für eine Funktion ein derartiges Paar (x_1, x_2) findest, dann ist diese Funktion nicht injektiv. Für die Funktionen 2-4 müßtest du jeweils ein derartiges Paar angeben können.
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke.
Aber wie mache ich das mit dem Urbild ? smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ein klares Kochrezept gibt es da nicht. Ich würde es damit versuchen, die Umkehrfunktionen zu bilden und dann schauen, auf welche Wertemenge die Menge B abgebildet wird.
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ok
Für 1 muss es ja stimmen dann. Das Urbild ist [0,8).
Für2.
Soll ich meine Intervallgrenzen einsetzen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Peter5774
Für 1 muss es ja stimmen dann. Das Urbild ist [0,8).

Ok.

Zitat:
Original von Peter5774
Für2.

Das stimmt nicht. Ohnehin kann/darf auch eine Umkehrfunktion zu jedem x nur einen Funktionswert haben.
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »

Soll ich dann nur einen Teil der Funktion betrachten?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Erst mal mußt du die Gleichung korrekt nach x auflösen. Beachte dabei, daß dieses nicht für jedes Element von B möglich ist. Damit bekommst du schon Hinweise, für welche Elemente von B es überhaupt Urbilder geben kann.
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry...es wäre y= , d.h es kann nur zwischen -1 und 3 Urbilder geben. Meinst du es so?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Aufgrund des "plus-minus" vor der Wurzel hast du 2 Umkehrfunktionen. Da die Wurzel als solche monoton ist, reicht es hier, wenn du jeweils die Ränder des Intervalls beachtest.
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »

D.h mein Urbild = [0,2]\cup[-2,0]
So?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip ja, wobei man das noch zu [-2; 2] zusammenfassen kann. Augenzwinkern
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »

Gut smile

Für fog=4-x^2: Das Urbild ist leer, da die Umkehrfunktion erst ab x=4 definiert ist oder?

Für gof: Die Umkehrfunktion ist Das Urbild ist dann
Stimmt das?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Peter5774
Für fog=4-x^2: Das Urbild ist leer, da die Umkehrfunktion erst ab x=4 definiert ist oder?

Hä? Verstehe nicht, was du sagen willst verwirrt

Zitat:
Original von Peter5774
Für gof: Die Umkehrfunktion ist Das Urbild ist dann
Stimmt das?

Nochmal: der Begriff "Umkehrfunktion" ist hier fehl am Platz, da deine Funktion zu einem x mehr als einen Funktionswert liefert. Außerdem: wie kommst du auf die -3 bei deinem Urbild?
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich (fog)(x)=4-x^2 umkehre. Dann erhalte ich
Daraus ergibt sich mein Urbild : [-3,3)
Ist das richtig?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso sollte beispielsweise die Null in deinem Urbild enthalten sein?
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann muss es so sein
Jetzt doch?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. smile
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke smile Freude
Mal was verstanden Big Laugh
Dann bleibt noch die letzte gof=x^2-6x+8=(x-3)^2-1.
Wenn ich diese umkehre erhalte ich
Mein Urbild wäre dann
Irgendwas stimmr da doch nicht Hammer
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso? Jetzt kannst du noch die beiden Intervalle zu einem zusammenfassen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@Peter5774

Vielleicht solltest du dir auch einfach mal graphisch veranschaulichen, was "Urbild" bedeutet, etwa im Fall 4. sowie :



Zum Urbild gehören alle , für die die Funktionswerte zwischen grüner Linie (y=-5, exklusive) und blauer Linie (y=3, inklusive) liegen.
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für eure Hilfe Freude smile smile Freude

Danke Klarsoweit für deine Geduld Big Laugh smile
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