Reihe ersten N Partialsummen konvergieren

17.10.2017, 16:40

Daniel66

Reihe ersten N Partialsummen konvergieren

Meine Frage:
Hi,

Wenn die ersten N Partialsummen konvergieren dann konvergiert doch auch die Reihe mit Endwert unendlich oder?

Meine Ideen:
Kann mir das jemand nochmal erklären wieso das so ist? Danke

17.10.2017, 16:48

sibelius84

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Hallo Daniel66,

naja, wenn man Reihen einführt, kennt man ja schon Folgen. Und für Folgen hat man einen Konvergenzbegriff. Damit man sich nicht die Mühe machen muss, alles nochmal von vorne zu definieren, bedient man sich nun bei diesem bereits vorhandenen Konvergenzbegriff und definiert:

Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty a_k \end{eqnarray*}$ heißt konvergent, wenn die Folge $\begin{eqnarray*} (s_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ konvergiert, wobei $\begin{eqnarray*} s_n := \sum_{k=1}^n a_k \end{eqnarray*}$ .

Ein schönes Standardbeispiel, um sich das klarzumachen, ist die geometrische Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^k \end{eqnarray*}$ , wo bekanntlich 2 rauskommt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^1 \left(\frac{1}{2}\right)^k = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^2 \left(\frac{1}{2}\right)^k = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{7}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \left(\frac{1}{2}\right)^k = 2-\left(\frac{1}{2}\right)^n \end{eqnarray*}$

Man sieht, dass die rechte Seite, also die Folge der Partialsummen der Reihe gegen 2 konvergiert. Dies heißt äquivalent, dass die Reihe gegen 2 konvergiert (bzw.: der Wert der Reihe gleich 2 ist).

Grüße
sibelius84

17.10.2017, 17:01

Daniel66

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Das ist mir bewusst aber wie kann man sich klar machen, dass wenn die ersten N Partialsummen einer Reihe konvergieren, dass dann auch die Reohe mit dem Endwert unendlich konvergiert?

17.10.2017, 17:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von Daniel66
die ersten N Partialsummen einer Reihe konvergieren

Eine Partialsumme ist ein einzelner Wert, für einen einzelnene Wert macht der Konvergenzbegriff wenig Sinn. Aus bloßer Kenntnis eines endlichen Abschnitts $\begin{align*} x_1,\ldots,x_N \end{align*}$ einer unendlichen Folge etwas zur Konvergenz dieser Folge ableiten zu wollen, ist Unsinn.

Wenn man hier also was vernünftiges über Konvergenz aussagen will, dann über die gesamte (unendliche) Folge aller Partialsummen, nicht nur über die ersten N Werte dieser Folge. unglücklich

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