Antisymmetrie, Verstehen der Bedingung

17.10.2017, 17:52	Kathreena	Auf diesen Beitrag antworten »
Antisymmetrie, Verstehen der Bedingung $\begin{eqnarray} (a,b)\in R \wedge (b,a) \in R \Rightarrow a = b \end{eqnarray}$ ____ Muss gerade beweisen, das eine Relation nicht Antisymmetrisch ist. Nun hab ich das Problem, das ich nich ganz verstehen, was a=b am ende bedeuten soll. Ich Interpretiere die Bedingung so. Falls a in Relation zu b steht und b in Relation zu a steht, MUSS a=b sein. Also kann ich nicht antisymmetrisch nur beweisen, wenn a in Relation zu b steht und b in Relation zu a steht, aber a ungleich b. Nur woher will ich wissen das a ungleich b ?, oder verstehe ich was falsch. Oder stimmt a = b niemals, und sobald a in Relation zu b steht und b in Relation zu a steht herrscht nie antisymmetrie ?
17.10.2017, 18:36	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Es kommt auf die Relation R an. Für die Ordnungsrelation $\begin{eqnarray} \le \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ gilt ganz sicher $\begin{eqnarray} a\le b\wedge b\le a\Rightarrow a=b \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} a,b\in\mathbb R \end{eqnarray}$ Eine Relation ist nicht antisymmetrisch, wenn es zwei Elemente $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} aR b\wedge b R a\wedge a\ne b \end{eqnarray}$
17.10.2017, 20:42	Kathreena	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf Wikipedia ist zum Thema Antisymmetrie, ein Diagramm gezeichnet, das allgemein gillt. Deswegen verwirrt mich das, laut dem Diagramm ist es einfach antisymmetrisch, wenn die Pfeile von einem Element nicht wieder zurück zum anderen Element zeigen. Versteh trotzdem dann nich, warum man dort dann sofort davon ausgehen kann, das a ungleich b, wenn die Pfeile "hin und zurück" zeigen.
17.10.2017, 22:29	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Relationen sind Teilmengen von Mengenprodukten. Pfeile helfen meiner Meinung nach nicht weiter. Es wäre besser, wenn du sagtest, um welche Relation es bei dir ganz konkret geht.
18.10.2017, 14:16	Kathreena	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die genaue Aufgabenstellung lautet: Sei A={a,b,c}. Geben Sie eine Relation auf A mit mindestens vier Elementen an, die transitiv aber nicht antisymetrisch ist.
18.10.2017, 14:27	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, wenn es konkret wird, ist das doch schon viel einfacher. Beispiel :{(a,a),(b,b),(a,b),(b,a)} (a,b) und (b,a) sind in R, aber a ist nicht b, also ist R nicht antisymmetrisch. Die Transitivität erzwingt (a,a),(b,b) in R. Wenn du selbst noch etwas tun möchtest, dann a) ergänze diese Relation zu einer Äquivalenzrelation mit 5 Elementen und berechne die Äquivalenzklassen b) schreibe alle Relationen mit den in der Aufgabe geforderten Eigenschaften auf c) führe a) für alle von dir gefundenen Relationen durch, falls möglich d) berechne die Anzahl aller Relationen auf A e) berechne die Anzahl aller Ordnungsrelationen auf A f) berechne die Anzahl aller Äquivalenzrelationen auf A (mögliche Nebenwirkung: du lernst etwas dabei)
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