Beweisen, dass es keine bijektive Abbildung in K -> K* gibt |
| 17.10.2017, 18:15 | Dussssssssel | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Beweisen, dass es keine bijektive Abbildung in K -> K* gibt Hallo 
, wir haben eine Übungsaufgabe bekommen die ich überhaupt nicht verstehe:Sei K ein Körper und sei K*:= K\{0}. Zeigen Sie, dass es keine bijektive Abbildung e:K -> K* gibt mit e(a+b)=e(a)e(b) fur alle a,b in K. Meine Ideen: Als Hinweis wurde angegeben, dass der Fall char(K)=2 angegeben.. Das heißt ja, dass man 2 Elemente in K addieren muss um 0 zu bekommen. Das wiederum wäre doch jetzt der Fall wenn K nur die Elemente 0 und 1 hätte. Leider hilft mir das auch nicht weiter. Ich danke schon mal im Voraus. |
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| 18.10.2017, 11:43 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
e(a+b)=e(a)e(b) sieht aus wie die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion. Für den Körper der reellen Zahlen ist das Bild nur die Menge der positiven reellen Zahlen, also nicht surjektiv. Für die komplexen Zahlen nimmt die Exponentialfunktion den Wert 0 nicht an, das wäre in Ordnung, aber sie ist wegen periodisch und daher nicht injektiv. Eine abschließende Antwort habe ich auch noch nicht ... |
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| 18.10.2017, 12:04 | Clearly_wrong | Auf diesen Beitrag antworten » |
Für endliche Körper kann es so eine Funktion allein wegen der Bijektivität nicht geben. Betrachten wir also unendliche Körper. Falls es doch so eine Funktion gäbe, existiert mit . Es folgt . Also ist und hat Charakteristik , da nicht Null sein kann. Damit lässt sich aber für jedes schließen. Überleg dir mal, wieso und warum das nicht so gut für die Existenz so einer Funktion ist. |
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| 18.10.2017, 18:54 | Dussssssssel | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nochmal danke für die Antworten. Wieso kann es keinen endlichen Körper dieser Art geben? |
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| 18.10.2017, 19:01 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ein endlicher Körper hat ein Element mehr als seine Einheitengruppe. |
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