Aussagenlogik Implikation

18.10.2017, 21:56

Einstein1879

Aussagenlogik Implikation

Guten Abend,

laut Definition ist die Implikation ( aus A folgt B) nur dann falsch, wenn A wahr ist und B falsch ist.

Des weiteren gilt ja folgende Äquivalenz.

$\begin{eqnarray*} (A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (\neg A \vee B) \end{eqnarray*}$

Wie kommt man auf diese Beziehung?

Wenn man den Ausdruck negiert, gilt:

$\begin{eqnarray*} \neg(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow \neg(\neg A \vee B)=(A \wedge \neg B) \end{eqnarray*}$

18.10.2017, 21:58

sibelius84

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RE: Aussagenlogik Implikation

Zitat:

Original von Einstein1879
laut Definition ist die Implikation ( aus A folgt B) nur dann falsch, wenn A wahr ist und B falsch ist.

Zitat:

Original von Einstein1879
Wenn man den Ausdruck negiert, gilt:

$\begin{eqnarray*} \neg(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow \neg(\neg A \vee B)=(A \wedge \neg B) \end{eqnarray*}$

...ist dann nicht die Welt in Ordnung? verwirrt

18.10.2017, 22:16

Einstein1879

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Aber wie kommt man auf die Äquivalenz?

18.10.2017, 22:28

sibelius84

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Naja, indem man sich die Definition von A => B zB in einer Wahrheitstafel anschaut:

A B A=>B
1 1 1
0 1 1
1 0 0
0 0 1

Wenn man sich die Wahrheitswerte rechts anschaut und mit links vergleicht, dann sieht man eben genau: A=>B ist falsch dann und nur ann, wenn A wahr und B falsch ist.

18.10.2017, 22:56

Dopap

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RE: Aussagenlogik Implikation

Zitat:

Original von Einstein1879
Guten Abend,

laut Definition ist die Implikation ( aus A folgt B) nur dann falsch, wenn A wahr ist und B falsch ist.

Des weiteren gilt ja folgende Äquivalenz.

$\begin{eqnarray*} A\Rightarrow B \Leftrightarrow \lnot A\lor B \end{eqnarray*}$

die Implikation ist eine Relation, keine Funktion. Also bitte die Subjunktion bei logischen Variablen verwenden:

$\begin{eqnarray*} A\rightarrow B \Leftrightarrow \lnot A\lor B \end{eqnarray*}$

und das ist korrekt, wenn $\begin{eqnarray*} A\rightarrow B \leftrightarrow \lnot A\lor B \end{eqnarray*}$

eine Tautologie ist:

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8:	A B ¦ (A -> B) <-> (¬A v B) -----+-------------------- 1 1 ¦ 1 1 0 1 1 0 ¦ 0 1 0 0 0 1 ¦ 1 1 1 1 0 0 ¦ 1 1 1 1

19.10.2017, 01:27

Dopap

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(...)
Eine Implikation ist eine Folgerung zwischen 2 Aussagen unter Verwendung "bekannter" Tatsachen.

$\begin{eqnarray*} \underbrace{\text { es regnet}}_{A} \underbrace{\text{ Strasse nass" }}_{B} \end{eqnarray*}$ setzt nun einmal Voraus, dass es regnet.

Voraussetzung und die Folgerung sind keine logischen Variablen. Trotzdem wird das immer wieder versucht.
Es gilt aber die Kontraposition:
wenn die Strasse nicht nass ist, dann regnet es nicht. $\begin{eqnarray*} \lnot B \Rightarrow \lnot A \end{eqnarray*}$
Um das zu retten falls A , B doch so verwendet werden muss A=0,B=0 (oder B=1) als wahr gelten.

Das geht aber nur wenn $\begin{eqnarray*} A\rightarrow B \Leftrightarrow \lnot A \lor B \end{eqnarray*}$ gilt

deshalb die Definition.

19.10.2017, 10:39

sibelius84

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Wo_Ow, diese Feinheiten... so hab ich auch noch was gelernt Idee!

19.10.2017, 12:31

Dopap

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schon seltsam, wenn man z.B die Begriffe "hinreichend" und "notwendig" verwendet macht das eigentlich keine Probleme:

$\begin{eqnarray*} A\Rightarrow B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A:=f'(x_0)=0 \land f''(x_0) \neq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B:=x_0 \,\text{ist Extremstelle} \end{eqnarray*}$

A ist hinreichend für B; B ist notwendig für A
-------------------

obwohl verwirrt

manchmal wird versucht aus nicht A nicht B zu folgern z.B weil $\begin{eqnarray*} f''(x_0)=0 \end{eqnarray*}$ ist:

$\begin{eqnarray*} \lnot A \stackrel {?}{\Rightarrow} \lnot B \end{eqnarray*}$ was in die Hose geht.

Das kann, muss aber nicht stimmen, oder so: "aus etwas Falschem kann man Wahres oder Falsches" folgern.

Welchen Wahrheitswert hat denn folgende "Folgerung"
Wenn meine Katze ein Pferd wäre dann könnte ich den Baum hinaufreiten Big Laugh

19.10.2017, 12:48

IfindU

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Kurze Anmerkung: ~~B ist NICHT notwenidg für A~~ Korrektur:A ist NICHT notwendig für B, wie man z.B. an $\begin{eqnarray*} f(x) = x^4 \end{eqnarray*}$ sofort sieht.
Es gilt (unter ein paar natürlichen Voraussetzungen wie Differenzierbarkeit etc.)
$\begin{eqnarray*} A \implies B \implies [f'(x_0) =0] \end{eqnarray*}$ .

Edit: Notwendig durch Hinreichend ersetzt.

19.10.2017, 23:19

sibelius84

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Aber wenn x^4 irgendwo noch eine Stelle x_0 hätte, für die A gälte, dann wäre sie ein Extremum, also gälte auch B, oder? Meinst du nicht: B ist nicht hinreichend für A?

20.10.2017, 04:32

IfindU

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Natürlich. Danke!

20.10.2017, 07:20

Dopap

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die ganze Zeit grummelte mir der Magen.
Eine diffizile Sache.
Die Frage ist doch, was ich im Falle, dass A eine Und-Verknüpfung ist, über die Notwendigkeit von B bezüglich A sagen kann.
Muss das in Ruhe überdenken.

20.10.2017, 21:17

Dopap

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im Folgenden sei

A: waagrechte Tangente
Z: 2. Ableitung nicht 0
B: Wendestelle

$\begin{eqnarray*} ((A\land Z )\Rightarrow B ))\land (B\Rightarrow A) \end{eqnarray*}$ dann ist Z wahr oder falsch.

kann man nun sagen, dass B notwendig für $\begin{eqnarray*} A\land Z \end{eqnarray*}$ ist?
ich denke ja.

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