Skalarprodukt

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mathe.verstehen Auf diesen Beitrag antworten »
Skalarprodukt
Meine Frage:
Wozu wird das Skalarprodukt am häu?gsten bzw. im trivialsten Falle benutzt.Was ist die entsprechende Äquivalenzformel?

Meine Ideen:
um die Formel auszurechnen? Big Laugh
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo mathe.verstehen,

das mathe.verstehen.verstehen fällt gerade etwas schwer, aber ich versuch's mal Augenzwinkern

Das plastischste Beispiel für das Skalarprodukt ist meiner Meinung nach der Einheitskreis im |R², wobei man die Skalarprodukte zunächst mit dem festen (Einheits-)Vektor v := e_1 = (1,0) bildet. Nun betrachte die weiteren Einheitsvektoren im |R²






(Die gehen also von v=(1,0) aus im mathematisch positiven, d.h. im Gegenuhrzeigersinn immer um 45° = pi/4 weiter.)

Da , erhält man also gerundet folgende Werte für das Skalarprodukt:

<v,v> = 1
<v,w> =~ 0,7
<v,x> = 0
<v,y> =~ -0,7
<v,z> = <v,-v> = -1.

Nun kann man unter Anwendung der binomischen Formel auch noch (wirklich!) leicht zeigen, dass für Einheitsvektoren a,b stets gilt: <a,b> kleinergleich 1, und größergleich -1 (das nennt man CSU = Cauchy-Schwarz-Ungleichung). In diesem Sinne hat also v mit sich selber maximales, mit dem 45° 'entfernten' w noch positives, mit dem auf ihm senkrecht stehenden verschwindendes, und mit den in die entgegengesetzte Richtung zeigenden Vektoren negatives Skalarprodukt.

Ich würde daher mal die Formulierung wagen wollen (ist aber keine gesicherte mathematische Erkenntnis, sondern nur Holzwolle aus meinem Kopf): Für Einheitsvektoren kann das Skalarprodukt angesehen werden als "Maß dessen, inwiefern zwei Vektoren in die selbe Richtung zeigen" bzw. "Maß, wie viel die Vektoren (richtungsmäßig) miteinander gemeinsam haben".

Nun erkennt man aber auch an den Zahlenwerten, dass bei einer Vergrößerung des Winkels um 45° die zugehörige Verkleinerung (bis 180°) des Skalarproduktes nicht (affin-)linear verläuft, sondern ungleichmäßig. Da aber ja die Werte des Skalarproduktes immer zwischen -1 und 1 liegen, kommt hier praktischerweise der Cosinus ins Spiel; die Skalarprodukte entpuppen sich gerade als 'Cosinüsse' der Winkel. Um das genauer zu erklären, müsste ich auch noch mal reinschauen, würde ich aber ggfs gerne tun.

Die Verallgemeinerung auf beliebig lange Vektoren a, b ungleich Null liegt nun fast auf der Hand: Hier korrespondiert entsprechend der Ausdruck mit dem Winkel zwischen a und b.

Soweit erstmal - ist da irgendetwas bei, was dir hilft?

Grüße
sibelius84
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