Prim- und irreduzible Elemente im Ring

19.10.2017, 15:51

forbin

Prim- und irreduzible Elemente im Ring

Hallo,
Ich komme bei folgender Aufgabe leider nicht weiter:
Sei $\begin{eqnarray*} R=\mathbb Z\left[\sqrt{-6}\right] = \left\{a+b\sqrt{-6} : a,b\in\mathbb Z\right\}. \end{eqnarray*}$

a) Zeigen Sie: $\begin{eqnarray*} 1+\sqrt{-6} \end{eqnarray*}$ ist Primelement.
Ich habe die Definition vor mir:

Zitat:

p $\begin{eqnarray*} \in R\backslash\left\{R^{*}\cup\left\{0\right\}\right\} \end{eqnarray*}$ prim $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \forall a,b\in R\backslash\left\{0\right\}: p|ab \Rightarrow p|a \text{ oder } p|b \end{eqnarray*}$

Ich habe im internet schon viele Beispiele gesucht, aber diese lösen das immer über die Norm.
Die haben wir noch nicht.

Muss ich nun also erstmal die Einheiten des Ringes bestimmen?
Dazu habe ich raus: $\begin{eqnarray*} R^{*}=\left\{\pm 1\right\} \end{eqnarray*}$

19.10.2017, 18:52

Elvis

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Wenn du die Norm noch nicht kennst, musst du sie erfinden. Oder du musst einen anderen Beweis erfinden. Ich glaube, es ist leichter, die Norm zu erfinden.

19.10.2017, 20:12

forbin

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Gut, ich kann Sie ja einführen, das ist ja nicht das Problem.
Aber ich würde das dann gerne von vornherein verstehen, warum ich das machen muss.
Worauf führt mich die Norm?

19.10.2017, 21:51

Elvis

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Auf den Beweis, den du haben möchtest?

19.10.2017, 22:05

forbin

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Ok danke

20.10.2017, 20:41

forbin

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Hm, also ich würde jetzt betrachten:

$\begin{eqnarray*} |p| \text{ teilt } |a|\cdot |b| \Rightarrow |p| \text{ teilt } |a| \text{ oder} |p|\text{ teilt }|b| \end{eqnarray*}$ .

Ist das so korrekt als Ansatz?

Außerdem frage ich mich, was genau der Betrag von $\begin{eqnarray*} 1+\sqrt{-6} \end{eqnarray*}$ ist. Denn das ist ja hier in dem Fall etwas anderes als $\begin{eqnarray*} |1+\sqrt{6}i| \end{eqnarray*}$ , da i ja nicht enthalten ist verwirrt

21.10.2017, 11:26

Elvis

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Wo ist i nicht enthalten ? Norm ist nicht Betrag. $\begin{eqnarray*} |1+\sqrt{-6}|=\sqrt 7 \end{eqnarray*}$

Auf $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[\sqrt{-6}]\le \mathbb Q(\sqrt{-6})=K \end{eqnarray*}$ ist die Norm definiert durch $\begin{eqnarray*} N:K\to K, a+b\sqrt{-6}\mapsto N(a+b\sqrt{-6})=a^2+6b^2 \end{eqnarray*}$

21.10.2017, 17:45

forbin

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Seien also
$\begin{eqnarray*} a:=(a_{1} + a_{2}\sqrt{-6}), b:=(b_{1} + b_{2}\sqrt{-6}) \text{ und } p:=(p_{1} + p_{2}\sqrt{-6}) \end{eqnarray*}$
Die Norm sei also entsprechend definiert:
$\begin{eqnarray*} N(a) = a_{1}^{2} + 6a_{2}^{2} \end{eqnarray*}$
Nun gilt: $\begin{eqnarray*} N(ab) = N(a)\cdot N(b) \end{eqnarray*}$

Stimmt nun:
$\begin{eqnarray*} \text{ p prim} \Leftrightarrow N(p) | N(ab) \Rightarrow N(p) | N(a) \text{ oder } N(b) \end{eqnarray*}$
?

21.10.2017, 18:13

Elvis

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N(a)=a²+6b² kann ja wohl überhaupt nicht sein. Bitte noch einmal ohne Schreibfehler, sonst habe ich keine Lust über den Inhalt nachzudenken.

21.10.2017, 19:09

forbin

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Oh, ja.
Habe es geändert

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