Bestimmen einer Matrix

19.10.2017, 23:17

adelmachris

Bestimmen einer Matrix

Meine Frage:
Hallo liebe Community,
in einigen Tagen schreibe ich eine Matheprüfung und bin bei dem Thema Analysis auf eine Aufgabe gestoßen, bei welcher ich nicht so recht weiterkomme.

Die Aufgabe lautet:
Gegeben sind drei Vektoren:
[latex] \vec{b_1} = (0,0,1,0); \vec{b_2} = (1,0,0,-1); \vec{b_3} = (0,-1,0,1)[\latex]
Bestimmen Sie die Matrix A. deren Elemente durch
[latex]A_{ij} = \vec{b_j} * \vec{b_i}; mit \; i,j=\left\{ 1,2,3\right\}[\latex]
gegeben sind.

Danke im Voraus,
Chris

Meine Ideen:
Die Lösung ist mir bekannt, nur der Weg dorthin nicht.
[latex]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}[\latex]

19.10.2017, 23:24

sibelius84

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Weißt du denn, wie du \vec{b_j} * \vec{b_i} berechnest? Könnte das Standardskalarprodukt gemeint sein, also $\begin{eqnarray*} x*y = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4 \end{eqnarray*}$ ?

Übrigens, um ein wenig "Darstellungstheorie" einzuschieben: Beim Latex-Off-Befehl den hier / statt dem da \ nehmen, dann sieht's schöner aus. Augenzwinkern

19.10.2017, 23:51

adelmachris

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Hallo sibelius84,

ich weis wie man das Skalarprodukt berechnen kann, aber wie kann mir das beim berechnen der Matrix helfen? Ich habe ja schon einmal drei Vektoren und wenn ich das Skalarprodukt berechne, bekomme ich ja auch ein Skalar heraus und keine Matrix wie gewünscht. verwirrt

Evtl. verstehe ich dich nicht ganz, aber danke für deine Antwort.

Hier noch einmal die Frage in schönerer Darstellung:
Die Aufgabe lautet:
Gegeben sind drei Vektoren:
$\begin{eqnarray*} \vec{b_1} = (0,0,1,0); \vec{b_2} = (1,0,0,-1); \vec{b_3} = (0,-1,0,1) \end{eqnarray*}$
Bestimmen Sie die Matrix A. deren Elemente durch
$\begin{eqnarray*} A_{ij} = \vec{b_j} * \vec{b_i}; mit \; i,j=\left\{ 1,2,3\right\} \end{eqnarray*}$
gegeben sind.

Danke im Voraus,
Chris

Meine Ideen:
Die Lösung ist mir bekannt, nur der Weg dorthin nicht.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

20.10.2017, 00:00

sibelius84

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Naja ok, aber die Matrix hat ja Skalare als Einträge. Und genau diese Skalare bekommst du ja jetzt definiert gemäß

a_(ij) := b_i*b_j.

Also kannst du, indem du 9 Skalarprodukte ausrechnest, alle 9 Matrixeinträge ausrechnen. (In Wahrheit musst du nur 6x rechnen, denn b_i*b_j = b_j*b_i.)

20.10.2017, 00:29

adelmachris

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Zitat:

Original von sibelius84
Naja ok, aber die Matrix hat ja Skalare als Einträge. Und genau diese Skalare bekommst du ja jetzt definiert gemäß

a_(ij) := b_i*b_j.

Also kannst du, indem du 9 Skalarprodukte ausrechnest, alle 9 Matrixeinträge ausrechnen. (In Wahrheit musst du nur 6x rechnen, denn b_i*b_j = b_j*b_i.)

Ah, danke. Der Knoten in meinem Hirn hat sich gelöst. Mir war nicht mehr wirklich bewusst, dass ja die Zeilen/Spalten in einer Matrix über das Schema:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a_{1,2} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mit den einzelnen Skalaren der jeweiligen b_{i,j} Werte verknüpft sind. Hammer

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