Alle Lösungen einer Differentialgleichung finden

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mathe673958285736 Auf diesen Beitrag antworten »
Alle Lösungen einer Differentialgleichung finden
Meine Frage:
Hallo!
Wir sollen von folgender Differentialgleichung alle Lösungen mit der Anfangsbedingung x(0)=-1 finden:
x'(t)=abs(1-x^2)^(1/2), wobei x von [0,oo) nach R abbildet. Mein Ansatz war, evtl. Lipschitz-Stetigkeit nachzuweisen, was mir aber nicht gelungen ist. Sogar Mathematica rechnet mehrere Stunden, ohne auf ein Ergebnis zu kommen. Hat irgend jemand eine Idee? Danke!

Meine Ideen:
Wie gesagt, Lipschitz-Stetigkeit für Picard-Lindelöf, aber ich glaube, dass keine Lipschitz-Stetigkeit vorliegt. Eine Lösung ist z.B. x=-cos(t) für t in [0,pi]. Aber was sind alle?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Alle Lösungen einer Differentialgleichung finden
Nette Aufgabe.

Man sieht zunächst, dass und Lösungen der DGL sind, wobei die erste auch die Anfangsbedingung erfüllt. Weitere Lösungen bekommt man, indem man die DGL als DGL mit getrennten Variablen behandelt. Dabei sollte man die Anfangsbedingung zunächst außer Acht lassen und die Fälle und getrennt betrachten. Man bekommt zwei weitere Lösungstypen L1 und L2. Einen davon kann man ebenfalls bei anfangen lassen. Man beachte nun, dass man aber auch der Lösung ein Stück weit folgen kann und erst dann in L1 wechselt. Wenn man L1 folgt, erreicht man irgendwann den Wert . Dort kann man entweder in L2 übergehen oder ein Stück weit folgen und dann in L2 übergehen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathe673958285736
Wie gesagt, Lipschitz-Stetigkeit für Picard-Lindelöf, aber ich glaube, dass keine Lipschitz-Stetigkeit vorliegt.

So ist es. Wie von Huggy skizziert gibt es mehrere Lösungen deines AWP, womit rückwirkend betrachtet auch dadurch klar ist, dass Picard-Lindelöf nicht anwendbar ist (zumindest nicht global).
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