Exaktes Differential

20.10.2017, 19:14

Silencium92

Exaktes Differential

Guten Abend,

ist $\begin{eqnarray*} \vec{F}\cdot d\vec{x}= sinh(x) sin(y) dx - cosh(x) cos(y) dy \end{eqnarray*}$ ein exaktes Differential?

Dafür müsste ja gelten: $\begin{eqnarray*} rot \vec{F}=0 \end{eqnarray*}$

Ausschreiben:

$\begin{eqnarray*} \partial _y F_x - \partial _y F_y =0 \quad \Leftrightarrow \quad sinh(x) cos(y) - sinh(x) cos(y)=0 \end{eqnarray*}$

Es handelt sich also um ein exaktes Differential. Laut Aufgabenstellung ist es aber keins und man muss den integrierenden Faktor bestimmen.

Habe ich irgendwo einen Fehler gemacht?

20.10.2017, 19:32

Huggy

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RE: Exaktes Differential

Zitat:

Original von Silencium92
Habe ich irgendwo einen Fehler gemacht?

Du hast das Minuszeichen vor dem zweiten Term nicht beachtet. Dadurch addieren sich die beiden Terme in der Integrabilitätsbedingung.

20.10.2017, 20:07

Silencium92

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Danke.

Die Aufgabe konnte ich lösen. Bei der folgenden habe ich aber ein Probleme.

Bestimmen Sie den integrierenden Faktor für

$\begin{eqnarray*} \vec{F}\cdot d\vec{x}=\delta f = (3t^2 x + 4x^2)dt + (4tx-x^3)dx \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz: Sei $\begin{eqnarray*} g=g(t,x) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} g\vec{F}\cdot d\vec{x} = g (3t^2 x + 4x^2)dt + g(4tx-x^3)dx \end{eqnarray*}$

Jetzt prüft man wieder die Bedingung:

$\begin{eqnarray*} \partial _t (gF_x) =\partial _x (gF_t) \end{eqnarray*}$

Ausschreiben und dabei den Produktansatz $\begin{eqnarray*} g(t,x)=g_1(t) g_2(x) \end{eqnarray*}$ verwenden:

$\begin{eqnarray*} g_2(x) \cdot [ 4xg_1(t) + 4xt \partial_t g_1(t) - x^3 \partial_t g_1(t) ]=g_1(t) \cdot [3t^2g_2(x) + 3t^2 x \partial_x g_2(x) + 8x g_2(x) + 4x^2 \partial_x g_2(x)] \end{eqnarray*}$

Jetzt würde ich versuchen die Variablen x,t vollständig zu trennen. Sehe aber nicht, welche Umformung dies bewerkstelligt.

21.10.2017, 06:30

IfindU

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Ich denke der Ansatz ist zu restriktiv. Ich habe den Ansatz $\begin{eqnarray*} g(t,x) = a + bx + c t + d tx \end{eqnarray*}$ gewählt und angefangen rumzurechnen. Beim Einsetzen bekommt man dann auf beiden Seiten Polynome und kann Koeffizientenvergleich betreiben. Als erstes bekam ich $\begin{eqnarray*} d =0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=-1 \end{eqnarray*}$ . Danach war mein Blatt Papier voll...Und da kommst du ins Spiel Big Laugh

21.10.2017, 09:45

Silencium92

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Kannst du kurz erläutern wie du auf den Ansatz

Zitat:

$\begin{eqnarray*} g(t,x) = a + bx + c t + d tx \end{eqnarray*}$

gekommen bist. Für mich ist noch nicht ganz schlüssig wie du von

$\begin{eqnarray*} \partial _t (gF_x) =\partial _x (gF_t) \end{eqnarray*}$

auf diesen Ansatz schließt.

Ich probiere diesen mal.

21.10.2017, 12:03

IfindU

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Da $\begin{eqnarray*} F_x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F_t \end{eqnarray*}$ Polynome sind, bin ich mir Recht sicher, dass g als Potenzreihe dargestellt werden kann. Dass es ein Polynom ersten Grades ist, war purer Optimismus auf meiner Seite Big Laugh

21.10.2017, 13:16

Silencium92

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Das ergibt Sinn smile

Wie kommst du aber auf den letzten Term d(tx) in deinem Ansatz?

21.10.2017, 13:24

IfindU

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Ich hatte gehofft das fällt nicht auf, aber um 6 Uhr heute morgen war ich davon überzeugt das wäre das allgemeine Polynom zweiten Grades. Ganz offenbar habe ich aber die Terme mit $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t^2 \end{eqnarray*}$ dreist unterschlagen.
Nach dem zweiten Kaffee war ich anderer Meinung Big Laugh

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