Funktion und Durchschnitt

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Blade90 Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion und Durchschnitt
Hallo miteinander,

erstmal sorry, dass ich die Formeln anhängen musste, aber ich habe es auf die Schnelle nicht geschafft, sie mit Latex hier runterzuschreiben. Meine eingerosteten Mathe-Kenntnisse reichen für den letzten Schritt der Gleichungs-Auflösung leider nicht mehr:

Ausgangsformel:

[attach]45436[/attach]

Zusatzinfo:



nach x aufgelöst:

[attach]45437[/attach]

Ich hoffe erstmal, dass ich die Formel korrekt nach x aufgelöst habe.
ist einfach ein Punkt vor auf der Funktionskurve. Ob es jetzt -0,1 oder -0,01 ist, spielt keine allzu große Rolle.

Der letzte Schritt wäre nun ein simples x oder oder so zu bekommen, damit ich damit in Excel einfach rechnen kann.


Danke im Voraus.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einfache Gleichung
Wenn ich das richtig verstehe, ist ein gegebener Wert und gesucht. Bei z. B. würde die Gleichung lauten, wenn man die auf die andere Seite bringt:



Jetzt ergibt sich ein grundsätzliches Problem. Wenn negativ ist, dann ist im Reellen gar nicht definiert.
 
 
Blade90 Auf diesen Beitrag antworten »

sowie auch sind unbekannt. ist einfach - ein kleiner Wert, z.B. 0,1 o.Ä. Ok, wahrscheinlich habe ich es nicht gut erklärt. Hier die Sache, um die es eigentlich geht:

Ich habe eine Funktion: f(x) =

Die Kurve stellt näherungsweise die Einkommensverteilung in Deutschland dar. Ich möchte nun herausfinden, an welchem Punkt (auf der x- und dann leicht ausrechenbar: y-Achse) das Durchschnittseinkommen bei "beliebiger Zahl" liegt (z.B. 20.000 € jährlich).

Umgekehrt habe ich es schon hinbekommen: Aus bekanntem x (z.B. 0,5) und y (= ) das Durchschnittsgehalt dieses Abschnitts ( = - 0,1) zu berechnen. Die Formel müsste jetzt nur umgestellt werden. Das hat auch soweit geklappt (Formel 2), aber der letzte Schritt fehlt und ich kriege die Formel nicht genug gekürzt, damit ich damit in Excel rechnen kann. Das "-0,1" spielt deshalb keine echte Rolle, weil es eigentlich nur um einen Punkt auf der Kurve geht - nicht tatsächlich um einen Abschnitt. Allerdings habe ich keine andere Möglichkeit gefunden den Durchschnitt für einen Punkt auf der Kurve zu berechnen. NUR deshalb ist = - 0,1 (könnte auch - 0,01 o.Ä. sein).

Wichtig ist: x und y sind die Unbekannten. Bekannt sind nur die Zahlen, die ich exemplarisch in die beiden Formeln eingetragen habe (1 = Durchschnittsgehalt; 2 = Gesamteinkommen aller Personen; 3 = Anzahl der Personen). Das nur zur Zusatzinfo - falls es hilft.

EDIT: Ich sehe die Verwirrung: Ich hätte einfach nennen sollen. Das sollte einfach heißen, dass es ein beliebiger Punkt auf der x-Achse VOR ist!
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Blade90
Das "-0,1" spielt deshalb keine echte Rolle, weil es eigentlich nur um einen Punkt auf der Kurve geht - nicht tatsächlich um einen Abschnitt. Allerdings habe ich keine andere Möglichkeit gefunden den Durchschnitt für einen Punkt auf der Kurve zu berechnen. NUR deshalb ist = - 0,1 (könnte auch - 0,01 o.Ä. sein).

Jetzt wird es noch verwirrender. Wenn man den Durchschnitt oder Mittelwert einer Funktion in einem engen Bereich um einen Wert sucht, so ist der einfach gleich dem Funktionswert an dieser Stelle. Wozu die Differenzbildung und Quotientenbildung? Damit würde man näherungsweise den Anstieg der Funktion, also ihre Ableitung, an der Stelle berechnen. Irgendetwas verstehe ich offenbar noch nicht.
Blade90 Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist meine Schuld - ich bin es nicht gewohnt solche Probleme mathematisch korrekt auszudrücken.

Wenn ich das normale x an jener Stelle nehme, bekomme ich den Durchschnitt aller Gehälter bis zu diesem Punkt. Wenn das Durchschnittsgehalt ALLER Personen in Deutschland 40.000 € wäre, dann wäre bei x = 0,5 der Durchschnitt ca. 15.000 € (der unteren 50 % der Bevölkerung). Ich möchte aber das ca. Gehalt einer PERSON bei x = 0,5 - das müsste dann schon deutlich höher sein, so bei 25.000 €. Deshalb der Quotient. Eine einzelne Person auf der x-Achse herauszufiltern ist das Anliegen von "x - 0,1".
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

So wird das nichts, das ist um keinen Deut verständlicher.

Erstens: Deine Funktion ist nur für definiert, was wahrscheinlich klar ist.
Zweitens solltest du diese Funktion näher erklären: Welche Einheiten gelten für x und welche für f(x) ?
Wo liegen 15000, 25000, 40000 bzw. wie kommt man auf diese Zahlen?

Mathematisch ist der Durchschnitt einer Funktion über ein gegebenes Intervall gleich dem bestimmten Integral der Funktion innerhalb der Grenzen des Intervalls dividiert durch die Intervalllänge.

Edit: Ich habe den Thementitel angepasst. Um eine "einfache Gleichung" geht es wohl nicht.

mY+
Blade90 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah! Steigung ist glaube ich das richtige Stichwort.

Die Zahlen sind völlig irrelevant, das können irgendwelche sein. Ich will niemanden mit Einkommensverteilungen in Deutschland langweilen.

Also meine Formel zur Berechnung der Steigung sieht ja so aus:



bei:

y =

Nochmal: x1 ist einfach ein beliebiger (kleiner) Punkt VOR x2, damit ich ein Intervall habe, mit dem ich rechnen kann.

Was ich bekomme ist die Steigung, sprich: Das Einkommen einer Person zwischen den Intervallen x2 und x1.

Genau diese Formel möchte ich jetzt einfach nach x bzw. y auflösen in dem Sinn, dass ich ein Einkommen in Excel o.Ä. eintippen kann und die entsprechende x oder y-Stelle bekomme. Doch da y = ist, komme ich mit der Auflösung der Gleichung nicht klar. Eigentlich also ist es doch eine simple Gleichung. Falls es so nicht klappt, lese ich mich mal in Integrale ein.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal: Gib eine exakte Defintion deiner Größen.

Bei scheint es sich um einen Bevölkerungsanteil zu handeln. Dann würde die Größe von 0 bis 1 laufen. Wenn die Bevölkerung nach der Größe ihres Einkommens geordnet wäre, dann würde sich bei z. B. die Person befinden, bei der 60 % der Bevölkerung ein geringeres Einkommen haben und 40 % ein höheres Einkommen. Ist das so richtig?



müsste nach dem

Zitat:
Wenn ich das normale x an jener Stelle nehme, bekomme ich den Durchschnitt aller Gehälter bis zu diesem Punkt. Wenn das Durchschnittsgehalt ALLER Personen in Deutschland 40.000 € wäre, dann wäre bei x = 0,5 der Durchschnitt ca. 15.000 € (der unteren 50 % der Bevölkerung). Ich möchte aber das ca. Gehalt einer PERSON bei x = 0,5 - das müsste dann schon deutlich höher sein, so bei 25.000 €.


das mittlere Einkommen der Personen unterhalb sein und du möchtest daraus das Einkommen der Person an der Stelle bestimmen. Das lässt sich machen. Aber da passt etwas noch nicht zusammen. Wenn im Bereich von 0 bis 1 liegt, dann liegt da auch dein . Fehlt da vielleicht eine Konstante? Also z. B.



Ohne die genaue Bedeutung deiner Größen macht es keinen Sinn, über den Rechengang zu diskutieren.
Blade90 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube du hast es richtig erfasst, den ersten Teil auf jeden Fall. Ich bin mir nicht sicher was du mit Konstante meinst. Zu x gehört natürlich y, also f(x) = , wie gesagt.

Es kann an dieser Stelle eigentlich keine Information mehr fehlen, da die Formel andersrum (nicht umgestellt) funktioniert und bei Eingabe von x Wert, den richtigen y Wert ausgibt und infolge dessen auch das Durchschnittseinkommen für dieses Segment (z.B. x = 0,5 bis x = 0,6).

Ja genau, x und y gehen von 0 bis 1.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Blade90
Es kann an dieser Stelle eigentlich keine Information mehr fehlen.

Doch, da fehlte eine wesentliche Information. Aus deiner Abbildung kann man schließen, dass nicht das durchschnittliche Gehalt im Intervall ist, sondern das relative durchschnittliche Gehalt über diesen Bereich. Um das durchschnittliche Gehalt in Euro zu bekommen, muss also noch mit dem Gesamtmittelwert multipliziert werden. Das wären in deinem Bild vermutlich die 36 000 Euro. Die Rechnung durchführen kann man natürlich auch mit dem so definierten und die Multplikation mit dem Gesamtmittelwert erst hinterher durchführen, wenn man den Betrag in Euro möchte.

Sei nun das gesuchte relative Gehalt an der Stelle . Dann ist das mittlere relative Gehalt im Intervall definitionsgemäß



Multiplikation mit ergibt:



Jetzt leitet man beide Seiten nach ab, links nach der Produktregel und und rechts nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Es ergibt sich:



Das gilt unabhängig von der konkreten Form von . Bei erhält man:



Man benötigt keine Differenzbildung oder sonstige Klimmzüge. Benötigt man zu einem gegebenen den zugehörigen -Wert, so ergibt sich der zu:

Blade90 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Rechenweg. Ich fürchte mir ist das etwas zu hoch. g(x) ist doch nicht das Einkommen an jener Stelle, für das ich das jeweilige Intervall suche, oder? Zumindest stimmt das Ergebnis nicht mit der Prüfung überein (also der Formel, über die ich aus x- und y-Wert den korrekten Durchschnitt für dieses Intervall erhalte).

Ich verstehe halt nicht, was falsch an meiner Idee ist, diese Formel einfach nach x oder y aufzulösen:

= Einkommen für dieses Intervall

Gesamteink. = 1548 Billiionen
Gesamtpersonen = 43 Millionen

Füge ich z.B. = 0,7 und = 0,5 ein, erhalte ich, weil f(x) = , = ca. 0,22 und = ca. 0,46. Diese beiden Zahlen setze ich in die obige Formel ein und erhalte das durchschn. Einkommen für das Intervall - = ca. 42.950 €.

Das scheint zu stimmen, da man bei für die Stelle x = 0,5 bis 0,7 ein etwas überdurchschnittliches Einkommen erwarten würde (42.950 € > 36.000 €).

Diese Formel müsste ich nun einfach nach x auflösen und soweit kürzen, dass ich damit leicht in Excel arbeiten kann. Sodass ich statt x und y-Wert schlichtweg das Einkommen für ein nahezu beliebig kleines Intervall (x - 0,01 z.B.) den x- und y-Wert erhalte. Meine Versuche (s. 1. Beitrag) haben mich ja auch schon weit gebracht - ich habe nur Probleme mit dem Auflösen der Gleichung wegen dem bekommen. Wäre es ein simples gewesen, hätte ich es vielleicht geschafft.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt erst rückst du mit den Werten für das Gesamteink. bzw. Gesamtpersonen heraus!
Diese ergeben ja die schon lange erwähnte Konstante, die man als Faktor vor den Term x^{2.2} zu setzen hat und welche eben die 36000 sind..
Wir hätten uns damit schon einige leere Kilometer erspart!
Ausserdem hast du die Formel für das Einkommen eines betreffenden Intervalls im Post vom 21.10./17:43 h falsch angegeben, da waren keine Klammer darin, wie jetzt!
-------------
Das erwartete Einkommen ist, wie ersichtlich, die Ableitungsfunktion* ---- k(x) von e(x)





Darin können nun die Werte der Stellen in den Intervallen eingesetzt werden.

So ist z.B. k(0.52) = 36135 oder k(0,6) = 51623

Umgekehrt ist, wenn die Stelle x des Intervalls aus einem gegebenen k (erwarteten Einkommen) zu berechnen ist, die Gleichung wie schon beschrieben umzuformen:

.. im Graphen die steilere Kurve, grün



Das kann jetzt gut auch in Excel verwendet werden. Z.B. ist x(40000) = 0.566



Unten auch die Umkehrfunktion des grünen Graphen.

[attach]45453[/attach]

mY+

(*) Sie ist der Grenzwert der von dir angegebenen Einkommensformel im Intervall für sehr kleine Intervalllängen im Bereich x1, x2
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Blade90
g(x) ist doch nicht das Einkommen an jener Stelle, für das ich das jeweilige Intervall suche, oder?

ist das relative Einkommen der Person an der Stelle und nach Multiplikation mit 36000 ihr absolutes Einkommen, das ich mal nenne. Das ist das, was sich ergibt, wenn man die Intervalllänge zwischen und gegen 0 gehen lässt. Es ergibt sich nach meiner Formel z. B.

Euro

Euro

Zitat:
Ich verstehe halt nicht, was falsch an meiner Idee ist, diese Formel einfach nach x oder y aufzulösen:

= Einkommen für dieses Intervall


ist nicht das gesamte Einkommen im Intervall . Um das zu bekommen, müsstest du mit der Zahl der Personen im Intervall und dem mittleren Einkommen multiplizieren, mit der Zahl der Personen im Intervall und dem mittleren Einkommen multiplizieren und vom ersten Ergebnis das zweite Ergebnis subtrahieren.

Wenn du meinen Rechenweg nicht nachvollziehen kannst, kannst du ihn glauben oder auch nicht. Ich will dich nicht von deinem Rechenweg abhalten. Jeder ist selbst seines Glückes Schmied. Der Exponent 2.2 verhindert allerdings, deine Formel einfach aufzulösen zu können. Man kann sie nur numerisch lösen. Methoden wären das Newtonverfahren oder ganz simple Intervallhalbierung.
Blade90 Auf diesen Beitrag antworten »

@ myThos: Ah danke! Das funktioniert. Ich hatte ja keine Ahnung, dass diese provisorisch recherchierten Zahlen für die Formel selbst von Belang sind. In der ursprünglichen Formel sind sie es auch nicht - da veränder ich einfach das Einkommen oder die Personen in einer Excel-Zelle und der Rechenweg bleibt immer gleich. Hätte ich das gewusst, hätte ich sie gleich angegeben.

Sehe ich das richtig, dass du das Durchschnittseinkommen schlicht * den Exponenten von x genommen hast und dann einfach nach x umgeformt? Dann müsste das ja auch mit anderen Werten in Zukunft leicht von der Hand gehen.

@ Huggy: Ja das hätte ich nie gedacht, dass wegen dieses blöden 2,2 die Gleichungsumformung so viel komplizierter wird. Wäre das Einkommen nur nach x Quadrat verteilt...


Danke!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Blade90
...
Sehe ich das richtig, dass du das Durchschnittseinkommen schlicht * den Exponenten von x genommen hast und dann einfach nach x umgeformt?
...

Es wurde die Ableitung der Funktion bestimmt, dafür gibt es exakte Ableitungsregeln!*
Die Ableitung (Grenzwert des Differenzenquotienten) heisst auch Differentialquotient und lautet, wie schon geschrieben



Und daraus wurde durch Umstellung (der Exponent von x wird durch Potenzieren beider Seiten der Gleichung mit 5/6 zu 1) letztendlich freigestellt.

(*)

mY+
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

@Blade

Noch mal zur Klarstellung: Du hast gesagt, sei das mittlere Einkommen im Intervall .

Zitat:
Blade
Wenn ich das normale x an jener Stelle nehme, bekomme ich den Durchschnitt aller Gehälter bis zu diesem Punkt. Wenn das Durchschnittsgehalt ALLER Personen in Deutschland 40.000 € wäre, dann wäre bei x = 0,5 der Durchschnitt ca. 15.000 € (der unteren 50 % der Bevölkerung). Ich möchte aber das ca. Gehalt einer PERSON bei x = 0,5 - das müsste dann schon deutlich höher sein, so bei 25.000 €.


Dann gilt

Zitat:
Huggy


und meine nachfolgende Rechnung. Wenn aber nicht das mittlere Einkommen ist, sondern das Gesamteinkommen im Intervall , dann gilt



Daraus folgt dann . Dazu muss man deine Sekantengleichung nicht auflösen. Für die Absolutwerte ist in beiden Fällen noch mit 36000 zu multiplizieren.

Was nun tatsächlich ist, kannst nur du wissen.
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