Auslöschung vermeiden

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forbin Auf diesen Beitrag antworten »
Auslöschung vermeiden
Hallo,

wir haben folgende Aufgabe bekommen:
[attach]45442[/attach]

Dabei habe ich folgende Gedanken gehabt:

i)


ii)


iii)


Bei der iv) hat sich leider noch kein Ansatz ausgezahlt. Also weder die dritte bin. Formel und auch nicht Taylor verwirrt


Sind meine Gedanken bisher korrekt?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo forbin,

bin kein Experte im Thema der Auslöschung, denke aber:
(i) sieht gut aus
(ii) Umformung ok. Die Annäherung danach - naja, bei (i) konnte man das x^2 approximativ deshalb m.E. weglassen, weil es eine höhere Potenz ist als x, und damit schneller gegen 0 geht. Ist hier bei der Wurzel aus 1+x aber nicht der Fall. Vielleicht einfach diese Annäherung mit (1/2)x weglassen? Oder verlangt das die Aufgabe?
(iii) Wieder Umformung ok, bin wieder unsicher bei der Näherung danach, naja, macht eigentlich Sinn, wobei, dann könnte man auch wieder fast 0,5x schreiben, denn für x =~0 gilt ja sin x =~ x (Potenzreihe).
(iv) Vielleicht ln(x/y), mit dem 3. Logarithmen-Gesetz? Ist das dann auslöschungsfrei?

Grüße
sibelius84
 
 
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Näherung ist beim Thema Auslöschung nicht gefragt. Es geht einfach nur darum, dass wenn zwei nahezu gleichgroße Zahlen voneinander abgezogen werden, das Ergebnis aufgrund einer begrenzten Stellenzahl Null werden kann, obwohl der Ausgangsausdruck möglicherweise etwas ganz anderes ergibt.
Daher wird bei numerischen Problemen versucht, solche Terme zu vermeiden und durch andere zu ersetzen. Es wird aber nirgends gefordert, dass dieser Term keinen Bruch mehr enthalten soll.

Beispiel I: Für x nahe Null sind beide Brüche etwa eins und "löschen sich aus". Der umgeformte Term hat dies Problem nicht mehr, da der Nenner relativ unempfindlich auf eine Änderung von x ist.

Daher sollten die Umformungen bei i-iii korrekt sein (den letzten Schritt würde ich hier auch weglassen).
Bei dem ln halte ich bloßes umschreiben nicht für zweckmässig, da bei nahezu gleichen werten der Quotient ja immer noch eins wird und somit der Gesamtterm Null.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

@Helferlein

Das hängt wohl davon ab, was meint. Meint man, dass der absolute Abstand klein ist oder der relative.

Wenn der absolute Abstand klein ist, kann es sein, dass und sehr nahe an der ist. Dann liefert .
Hingegen liefert dann .

Wenn es der relative Abstand ist und gross, ist es in der Differenzschreibweise wohl besser.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Helferlein
Daher sollten die Umformungen bei i-iii korrekt sein (den letzten Schritt würde ich hier auch weglassen).


Meinst du die jeweiligen -Angaben?

@IfindU:

Hm, das kann ich leider nicht beantworten. In der Vorlesung war das Thema der Auslöschung noch nicht dran. verwirrt
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das meinte ich. Es reicht ein Ausdruck, der keine Auslöschung im genannten Bereich verursacht.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Helferlein
Ja, das meinte ich. Es reicht ein Ausdruck, der keine Auslöschung im genannten Bereich verursacht.


Oh, das ist ja toll, vielen Dank Freude
Kam mir nämlich so einfach vor, das bin ich nicht gewöhnt Big Laugh
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