Auslöschung vermeiden

20.10.2017, 23:46

forbin

Auslöschung vermeiden

Hallo,

wir haben folgende Aufgabe bekommen:
[attach]45442[/attach]

Dabei habe ich folgende Gedanken gehabt:

i)
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x}-\frac{1}{1+x} = \frac{2x}{1-x^{2}}\approx 2x \end{eqnarray*}$

ii)
$\begin{eqnarray*} \sqrt{1+x}-1 = \frac{x}{\sqrt{1+x}+1}\approx \frac{1}{2}x \end{eqnarray*}$

iii)
$\begin{eqnarray*} \frac{1-cos(x)}{sin(x)} = \frac{1-cos^{2}(x)}{sin(x)(1+cos(x))} = \frac{sin^{2}x}{sin(x)(1+cos(x))} = \frac{sin(x)}{1+cos(x)}\approx \frac{1}{2}sin(x) \end{eqnarray*}$

Bei der iv) hat sich leider noch kein Ansatz ausgezahlt. Also weder die dritte bin. Formel und auch nicht Taylor verwirrt

Sind meine Gedanken bisher korrekt?

21.10.2017, 00:39

sibelius84

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Hallo forbin,

bin kein Experte im Thema der Auslöschung, denke aber:
(i) sieht gut aus
(ii) Umformung ok. Die Annäherung danach - naja, bei (i) konnte man das x^2 approximativ deshalb m.E. weglassen, weil es eine höhere Potenz ist als x, und damit schneller gegen 0 geht. Ist hier bei der Wurzel aus 1+x aber nicht der Fall. Vielleicht einfach diese Annäherung mit (1/2)x weglassen? Oder verlangt das die Aufgabe?
(iii) Wieder Umformung ok, bin wieder unsicher bei der Näherung danach, naja, macht eigentlich Sinn, wobei, dann könnte man auch wieder fast 0,5x schreiben, denn für x =~0 gilt ja sin x =~ x (Potenzreihe).
(iv) Vielleicht ln(x/y), mit dem 3. Logarithmen-Gesetz? Ist das dann auslöschungsfrei?

Grüße
sibelius84

21.10.2017, 12:18

Helferlein

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Eine Näherung ist beim Thema Auslöschung nicht gefragt. Es geht einfach nur darum, dass wenn zwei nahezu gleichgroße Zahlen voneinander abgezogen werden, das Ergebnis aufgrund einer begrenzten Stellenzahl Null werden kann, obwohl der Ausgangsausdruck möglicherweise etwas ganz anderes ergibt.
Daher wird bei numerischen Problemen versucht, solche Terme zu vermeiden und durch andere zu ersetzen. Es wird aber nirgends gefordert, dass dieser Term keinen Bruch mehr enthalten soll.

Beispiel I: Für x nahe Null sind beide Brüche etwa eins und "löschen sich aus". Der umgeformte Term hat dies Problem nicht mehr, da der Nenner relativ unempfindlich auf eine Änderung von x ist.

Daher sollten die Umformungen bei i-iii korrekt sein (den letzten Schritt würde ich hier auch weglassen).
Bei dem ln halte ich bloßes umschreiben nicht für zweckmässig, da bei nahezu gleichen werten der Quotient ja immer noch eins wird und somit der Gesamtterm Null.

21.10.2017, 14:36

IfindU

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@Helferlein

Das hängt wohl davon ab, was $\begin{eqnarray*} x \approx y \end{eqnarray*}$ meint. Meint man, dass der absolute Abstand klein ist oder der relative.

Wenn der absolute Abstand klein ist, kann es sein, dass $\begin{eqnarray*} y = 2x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ sehr nahe an der $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist. Dann liefert $\begin{eqnarray*} \log x - \log y = \text{Riesige Zahl} - \text{Grosse Zahl} =\text{Riesige Zahl} \end{eqnarray*}$ .
Hingegen liefert dann $\begin{eqnarray*} \log (x/y) = -\log 2 \end{eqnarray*}$ .

Wenn es der relative Abstand ist und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gross, ist es in der Differenzschreibweise wohl besser.

21.10.2017, 15:00

forbin

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Zitat:

Original von Helferlein
Daher sollten die Umformungen bei i-iii korrekt sein (den letzten Schritt würde ich hier auch weglassen).

Meinst du die jeweiligen $\begin{eqnarray*} \approx \end{eqnarray*}$ -Angaben?

@IfindU:

Hm, das kann ich leider nicht beantworten. In der Vorlesung war das Thema der Auslöschung noch nicht dran. verwirrt

21.10.2017, 15:04

Helferlein

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Ja, das meinte ich. Es reicht ein Ausdruck, der keine Auslöschung im genannten Bereich verursacht.