Was sagt mir das Epsilon in dieser Aussage?

21.10.2017, 11:14	liso	Auf diesen Beitrag antworten »
Was sagt mir das Epsilon in dieser Aussage? Meine Frage: Hallo ich habe die Aufgabe, die Aussage $\begin{eqnarray} \forall \epsilon > 0: \exists N \in \mathbb N : \forall n, m > N: \| f(n) - f(m) \| < \epsilon \end{eqnarray}$ Edit (mY+): LaTeX berichtigt! (wobei f eine Abbildung der natürlichen auf die reellen Zahlen darstellt) (vielleicht kann mir auch jemand erklären, wie ich die Formel direkt in diese Dokument einfügen kann ) (mY+): Den Term markieren und f(x) klicken! in eigene Worte zu fassen, ohne dabei aussagenlogische Quantoren zu verwenden. Jetzt ist meine Frage, was mir diese Epsilon sagt? Kann mir jemand weiter helfen? Meine Ideen: Mit meinem Ansatz bin ich schon so weit: "Es existiert eine natürliche Zahl, für die die positive Differenz zweier Werte einer Abbildung von den natürlichen auf die reellen Zahlen immer kleiner ist als..."
21.10.2017, 11:39	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
In Worten und ganz ohne $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ und ganz ohne Quantoren heißt $\begin{eqnarray} \forall \epsilon > 0: \exists N \in \mathbb N : \forall n, m > N: \| f(n) - f(m) \| < \epsilon \end{eqnarray}$ : "f ist eine Cauchyfolge". Etwas ausführlicher kann man sagen "für jede beliebig kleine reelle $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ Zahl gibt es eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ , so dass für alle natürlichen Zahlen n und m grösser als N der Betrag der Differenz f(n)-f(m) kleiner als $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ ist". Man muss eine solche Aussage nur von links nach rechts in Worten statt in Formeln ausdrücken, genau so, wie es dasteht, genau so, wie man denkt.

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