Allgemeiner Beweis: Arithmetisches Mittel gleich Gewichtetes arithmetisches Mittel

21.10.2017, 22:51

sumah

Allgemeiner Beweis: Arithmetisches Mittel gleich Gewichtetes arithmetisches Mittel

Hallo,
und zwar habe kann folgenden Beweis nicht (ganz) nachvollziehen:

$\begin{eqnarray*} \overline{x} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} $\sum\limits_{t=1}^{n}$ \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x_{t} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} $\sum\limits_{i=1}^{m}$ \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} n_{i} x_{i} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} $\sum\limits_{i=1}^{m}$ \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{n_{i}}{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x_{i} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} $\sum\limits_{i=1}^{m}$ \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} h_{i} x_{i} \end{eqnarray*}$

Ich verstehe nicht, warum man das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ von oben runter ziehen kann und ein Index $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ hinzugefügt wird?!
Außerdem frage ich mich auch, warum aus dem $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ wird und aus dem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ ?
Und müsste eigentlich am ende beim $\begin{eqnarray*} x_{i} \end{eqnarray*}$ nicht ein strich drüber sein? Also so: $\begin{eqnarray*} \overline{x}_{i} \end{eqnarray*}$ ?

22.10.2017, 10:46

Huggy

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RE: Allgemeiner Beweis: Arithmetisches Mittel gleich Gewichtetes arithmetisches Mittel
Formeln sind sinnlos, wenn man sie nicht versteht. Verstanden hat man sie nur, wenn man sie in Beispiele umsetzen und auf Beispiele anwenden kann. Wenn man das versucht, klärt sich mancher Gedankenknoten von ganz allein. Gehen wir es an.

Es soll der Mittelwert einer Zahlenreihe gebildet werden.

$\begin{eqnarray*} \bar x=\frac 1 n \sum_{t=1}^n x_t \end{eqnarray*}$

Die Zahlenreihe sei $\begin{eqnarray*} (5,5,2,5,2,1) \end{eqnarray*}$ . Das sind 6 Zahlen, also $\begin{eqnarray*} n=6 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_1=5, x_2=5, ..., x_6=1 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \bar x=\frac 1 6 \sum_{t=1}^6 x_t=\frac 1 6 (5+5+2+5+2+1) \end{eqnarray*}$

Nun stellt man fest, dass einige der Zahlen gleich sind. Den Mittelwert kann man also auch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \bar x=\frac 1 6 (3\cdot5+2\cdot2+1\cdot1) \end{eqnarray*}$

Jetzt gibt man nur noch den voneinander verschiedenen Zahlen Bezeichnungen, also $\begin{eqnarray*} x_1=5, x_2 =2, x_3=1 \end{eqnarray*}$ . Der allgemeine Index für die verkürzte Zahlenreihe ist $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ genannt, um ihn von dem Index der kompletten Zahlenreihe zu unterscheiden. Das muss man nicht. Es erleichtert aber das Verständnis. Es sind 3 verschiedene Zahlen, also $\begin{eqnarray*} m=3 \end{eqnarray*}$ . Die Häufigkeit, mit der die $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ vorkommen, ist $\begin{eqnarray*} n_i \end{eqnarray*}$ genannt, also $\begin{eqnarray*} n_1=3, n_2=2, n_3=1 \end{eqnarray*}$ . Mit diesen Bezeichnungen hat man

$\begin{eqnarray*} \bar x=\frac 1 n \sum_{i=1}^m n_ix_1=\frac 1 6 \sum_{i=1}^3 n_ix_i \end{eqnarray*}$

Nun kann man $\begin{eqnarray*} 1/n \end{eqnarray*}$ noch in die Summe hinein multiplizieren und hat:

$\begin{eqnarray*} \bar x= \sum_{i=1}^m \frac {n_i}{n} x_i= \sum_{i=1}^3 h_ix_i \end{eqnarray*}$

Dabei ist $\begin{eqnarray*} n_i/n=h_i \end{eqnarray*}$ genannt. Ist die Formel jetzt verstanden?

22.10.2017, 16:42

sumah

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RE: Allgemeiner Beweis: Arithmetisches Mittel gleich Gewichtetes arithmetisches Mittel

Zitat:

Original von Huggy
Ist die Formel jetzt verstanden?

Ja, ist sie. Danke!

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