Komplexe Zahlen (Termumformung + Dreiecksungleichung)

22.10.2017, 16:50	20c	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahlen (Termumformung + Dreiecksungleichung) Hallo, wir sollen in einer meiner Aufgaben zeigen, dass der Betrag der Komplexen Zahlen, d.h. $\begin{eqnarray} \|z\| = \sqrt{(Re)²+(Im)²} \end{eqnarray}$ Als Hinweis haben wir noch, dass aus $\begin{eqnarray} x² \leq y² \end{eqnarray}$ folgt: $\begin{eqnarray} \|x\| \leq \|y\| \end{eqnarray}$ Mir fehlt dazu allerdings jeglicher Ansatz. Könnt ihr mir vielleicht bitte auf die Sprünge helfen? Bei meiner anderen Aufgabe habe ich zumindest einen Ansatz, möchte mich aber vergewissern, dass ich nicht auf dem Holzweg bin. Wir sollen den Term $\begin{eqnarray} \left(\frac{-1+i\sqrt3}{2} \right)^{5} \end{eqnarray}$ auf die Form x+yi bringen. Mein Ansatz wäre über den binomischen Lehrsatz zu gehen. Heißt das ganze in eine Summe umzuformen und dann ausrechnen. Nur scheint mir das viel "Rechenarbeit" für einen Übungszettel zu sein. Ist mein Ansatz zumindest richtig oder gibt es einen viel einfacheren simpleren Weg, den ich gerade nicht sehe? Lg, 20c
22.10.2017, 17:13	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum Betrag: Dieser ist doch so definiert. Was soll da bewiesen werden. Zum anderen: Schreibe die Zahl in der Form $\begin{eqnarray} z = r \cdot (\cos \varphi + i \sin \varphi) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ ist der Betrag, und der Winkel ein "schöner" Wert. Ermittle diesen über cos bzw. sin. Somit ist der Betrag mit 5 zu potenzieren und der Winkel .. (?). Hinweis: Moivre mY+
22.10.2017, 17:18	20c	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldigung, ich habe meinen Beitrag nicht zuende geschrieben. Es soll bewiesen werden, dass der Betrag einer komplexen Zahl auch die Dreiecksungleichung erfüllt. Und vielen Dank für deinen Hinweis, ich werde mir das gleich mal anschauen. Hoffentlich akzeptiert mein Tutor die Lösung. Ich finde das Aufgabenblatt auch etwas komisch, da wir den Binomialkoeffizienten in der Vorlesung noch nicht behandelt haben und wir , zumindest soweit wie ich das verstanden habe, eigentlich nur die Methoden verwenden sollen, die wir in der Vorlesung behandelt haben. LG, 20c
22.10.2017, 21:05	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sollt es ja auch nicht mit Binomialkoeffizienten rechnen, das ist zu umständlich, sondern mit der Formel von Moivre: $\begin{eqnarray} (\cos \varphi + i \sin \varphi)^n = \cos n \varphi + i \sin n \varphi \end{eqnarray}$ Somit Hinweis 2 : $\begin{eqnarray} \varphi = \frac {2 \pi} 3 \end{eqnarray}$ [120°] , der Winkel ist einfach mit 5 zu multiplizieren ... ------------- Zur Dreiecksungleichung: Es gilt also bei z = x + i y, wobei \|x\|, \|y\|, \|z\| ein rechtwinkeliges Dreieck bilden, die Ungleichung $\begin{eqnarray} \|x\| + \|y\| \geq \sqrt{\|x\|^2 + \|y\|^2} \end{eqnarray}$ Da die Terme alle nicht negativ sind, ist hier Quadrieren eine Äquivalenzumformung ... Zum allgemeinen Beweis der Dreiecksungleichung für (mehrere) komplexe Zahlen siehe hier. mY+

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