Zahlenfolge: Konvergenz beweisen

22.10.2017, 20:17

jvkbx

Zahlenfolge: Konvergenz beweisen

Meine Frage:
Hey,
ich habe folgende Aufgabe vor mir liegen:

Beweisen sie mittels $\begin{eqnarray*} \epsilon - n_o - \end{eqnarray*}$ Abschätzung die Konvergenz der Zahlenfolge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n:=\sqrt{(4n^2+3n)-2n} \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ .

Ich hab leider keine Ahnung wie genau ich das beweisen soll.

Meine Ideen:

Sobald ich nämlich $\begin{eqnarray*} |a_n - \frac{3}{4}| \end{eqnarray*}$ rechne hab ich absolut keine Ahnung wie das weiter gehen soll...

22.10.2017, 21:22

Cel

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Hi,

überprüfe mal deine Angabe - ich weiß nicht, ob ich noch so fit bin, um die Aufgabe bis zum Ende mit dir durchzuziehen (ist alles ein wenig her, bin aber guter Hoffnung Augenzwinkern

), aber diese Folge divergiert.

22.10.2017, 21:51

HAL 9000

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Anzunehmen ist, dass jvkbx Schwierigkeiten mit LaTeX hat und in Wahrheit $\begin{align*} a_n:=\sqrt{4n^2+3n}-2n \end{align*}$ meint.

23.10.2017, 15:21

jvkbx

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Wie beweist man diese Aufgabe?
Meine Frage:
Hey,
ich habe folgende Aufgabe vor mir liegen:

Beweisen sie mittels $\begin{eqnarray*} \epsilon - n_o - \end{eqnarray*}$ Abschätzung die Konvergenz der Zahlenfolge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n:=\sqrt{4n^2+3n}-2n \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ .

Ich hab leider keine Ahnung wie genau ich das beweisen soll.

Meine Ideen:
Mir ist klar dass die Folge gegen $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ konvergiert wenn sie die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |a_n - \frac{3}{4}| \end{eqnarray*}$ erfüllt.
Aber wie genau kann ich das dann nachweisen. In anderen Foren konnte ich schon herausfinden, dass ich mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{4n^2+3n}+2n \end{eqnarray*}$ erweitern muss, aber da ich nicht der beste in Mathe bin hat mir das auch nicht wirklich weitergeholfen.
Ich hoffe einer von euch kann mir da die Lösung/den Lösungsweg verraten bzw. das Schritt für Schritt mit mir durchgehen.
Bin euch jetzt schon mal dankbar, weil ich brauche das echt dringend.
LG

23.10.2017, 15:31

mYthos

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RE: Wie beweist man diese Aufgabe?
Vermeide bitte Doppelposts! Ich habe deinen Beitrag von dort hier eingefügt.
----------
Und lasse dir künftig bessere Titel - den fachlichen Inhalt des Threads betreffend - einfallen!
----------

Zum Thema:
Die Erweiterung ist deswegen nötig, um die unbestimmte Form $\begin{eqnarray*} \infty - \infty \end{eqnarray*}$ , welche bei der Grenzwertbildung auftritt, zu umgehen.
Durch die Erweiterung wird der Term im Zähler von der Form $\begin{eqnarray*} a - b \end{eqnarray*}$ in die Form $\begin{eqnarray*} a^2 - b^2 \end{eqnarray*}$ übergeführt, im Nenner taucht der Erweiterungsfaktor ebenfalls auf.

Das sollte dir so weit helfen. Was steht denn dann nach der Multiplikation im Zähler?
Im Nenner musst du dann (aus dem ganzen Term) $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ausklammern, das heisst u.a. $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ aus der Wurzel "herausholen".
Wenn du so weit bist, können wir dann dort darauf zurückkommen.

mY+

23.10.2017, 16:30

HAL 9000

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Angesichts dessen, dass hier wohl eine $\begin{align*} n_0=n_0(\varepsilon) \end{align*}$ -Abschätzung für die Konvergenz gegen $\begin{align*} \frac{3}{4} \end{align*}$ das Ziel ist, sollte man den Tipp leicht modifizieren: Es ist

$\begin{align*} a_n-\frac{3}{4} = \sqrt{4n^2+3n}-2n-\frac{3}{4} \end{align*}$

und auf diesen Term kann man dann zweckmäßig den Binom-Tipp $\begin{align*} a-b = \frac{(a-b)(a+b)}{a+b} = \frac{a^2-b^2}{a+b} \end{align*}$ anwenden, d.h. auf $\begin{align*} a=\sqrt{4n^2+3n} \end{align*}$ und $\begin{align*} b=2n+\frac{3}{4} \end{align*}$ anstelle von $\begin{align*} b\stackrel{?}{=}2n \end{align*}$ .

23.10.2017, 17:10

jvkbx

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RE: Wie beweist man diese Aufgabe?
Ok vielen Dank erst einmal Big Laugh

Das mit dem Doppelpost und dem Titel tut mir echt Leid, es ist nur so, dass ich das echt dringend brauche und nirgends eine zufriedenstellende Antwort bekommen habe. Wird aber nicht wieder vorkommen :-)

Nun zur Aufgabe, wenn ich das jetzt alles richtig verstanden habe müsste das nun so aussehen:
$\begin{eqnarray*} \frac{(\sqrt{4n^2+3n}-2n)*(\sqrt{4n^2+3n}+2n)}{\sqrt{4n^2+3n}+2n} \end{eqnarray*}$

Den Zähler jetzt in die Form $\begin{eqnarray*} a^2 - b^2 \end{eqnarray*}$ bringen:
$\begin{eqnarray*} \frac{(\sqrt{4n^2+3n})^2-(2n)^2}{\sqrt{4n^2+3n}+2n}=\frac{4n^2+3n-4n^2}{\sqrt{4n^2+3n}+2n}=\frac{3n}{\sqrt{4n^2+3n}+2n} \end{eqnarray*}$

Jetzt das n ausklammern:
$\begin{eqnarray*} \frac{3n}{n*(\sqrt{\frac{4n+3}{n}}+2)}=\frac{3}{\sqrt{\frac{4n+3}{n}}+2} \end{eqnarray*}$

Und das ganze in die Ungleichung einsetzen oder?

$\begin{eqnarray*} |\frac{3}{\sqrt{\frac{4n+3}{n}}+2}-\frac{3}{4}|<\epsilon \end{eqnarray*}$

Rein theoretisch müsste ich ja jetzt beides auf den selben Nenner bringen oder wie genau mache ich da jetzt weiter?

LG

23.10.2017, 17:45

HAL 9000

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Zitat:

Original von jvkbx
$\begin{eqnarray*} |\frac{3}{\sqrt{\frac{4n+3}{n}}+2}-\frac{3}{4}|<\epsilon \end{eqnarray*}$

Rein theoretisch müsste ich ja jetzt beides auf den selben Nenner bringen oder wie genau mache ich da jetzt weiter?

Das kannst du dir sparen, wenn du gleich meinen Hinweis befolgst, mit $\begin{align*} 2n+\frac{3}{4} \end{align*}$ statt mit $\begin{align*} 2n \end{align*}$ zu arbeiten.

23.10.2017, 22:04

jvkbx

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uups hab den Beitrag davor nicht gelesen :-)

Ok langsam schäme ich mich echt für meine mathematische Inkompetenz und wahrscheinlich ist das hier auch wieder falsch:
Ich müsste doch dann mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{4n^2+3n}-2n-\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ erweitern oder?
Wie genau kann b dann $\begin{eqnarray*} 2n + \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ sein?
Meines Erachtens müsste b doch $\begin{eqnarray*} 2n - \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ sein?

Also wirklich srry srry srry dass ich hier eure/deine Zeit mit meiner Inkompetenz verschwende aber Mathe lag mir halt noch nie :-(

LG

23.10.2017, 22:06

mYthos

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Mein Tipp hat vorrangig darauf abgezielt, auf den nun berechneten Folgenterm die Grenzwertsätze anzuwenden:
In der Wurzel durch n dividieren, deren Grenzwert ist 2, folglich der Grenzwert des gesamten Termes 3/(2 + 2) = 3/4.

Dass dies mittels "Epsilontik" zu rechnen ist, habe ich leider übersehen.

Allerdings ist (mir) nicht klar, ob die Rechnung mit dem Ansatz von HAL 9000 einfacher ist.
Der Zähler (Betrag) reduziert sich zwar zu 9/16, dafür steht im Nenner $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ in einem Wurzelterm und auch außerhalb.
Das riecht nach komplexer quadr. Gleichung, um $\begin{eqnarray*} n(\epsilon) \end{eqnarray*}$ zu bestimmen.

@jvkbx, du hast zum Schluss im Nenner falsch ausgeklammert! Aus der Wurzel ist natürlich $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ "herauszuheben", damit es außerhalb zu $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ wird.
Der Term heisst somit

$\begin{eqnarray*} \frac{3n}{n \cdot \left( \sqrt{4+\frac 3 n}+2 \right)}=\frac{3}{\sqrt{4+\frac 3 n}+2} \end{eqnarray*}$

Ich denke, dass man damit weiterrechnen kann, auch wenn es einigen Aufwand erfordert.
-------------

Zu deiner Frage

Zitat:

Original von jvkbx
...
Ich müsste doch dann mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{4n^2+3n}-2n-\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ erweitern oder?
Wie genau kann b dann $\begin{eqnarray*} 2n + \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ sein?
Meines Erachtens müsste b doch $\begin{eqnarray*} 2n - \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ sein?
...

Nein! Du musst wegen des Minus bei a-b eine Klammer für den b-Term vorsehen. Es ist

$\begin{eqnarray*} -2n - \frac 3 4 = -(2n + \frac 3 4) = -b \ \to \ b = 2n + \frac 3 4 \end{eqnarray*}$

mY+

24.10.2017, 00:10

HAL 9000

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Zitat:

Original von mYthos
Allerdings ist (mir) nicht klar, ob die Rechnung mit dem Ansatz von HAL 9000 einfacher ist.
Der Zähler (Betrag) reduziert sich zwar zu 9/16, dafür steht im Nenner $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ in einem Wurzelterm und auch außerhalb.

Aha, und das ist bei dem anderen Weg nicht so?

Zitat:

Original von mYthos
Das riecht nach komplexer quadr. Gleichung, um $\begin{eqnarray*} n(\epsilon) \end{eqnarray*}$ zu bestimmen.

Kein Mensch verlangt, dass der Term nach $\begin{align*} n \end{align*}$ umgestellt wird. Wie immer in solchen Fällen ist nur ein hinreichendes $\begin{align*} n_0 \end{align*}$ zu bestimmen, und zu diesem Zweck kann man auf die simple Abschätzung

$\begin{align*} \frac{9}{16}\cdot \frac{1}{\sqrt{4n^2+3n}+2n+\frac{3}{4}} < \frac{9}{16}\cdot \frac{1}{\sqrt{4n^2}+2n} = \frac{9}{64n} \end{align*}$

zurückgreifen.

24.10.2017, 01:52

mYthos

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Zitat:

Original von HAL 9000
...
Aha, und das ist bei dem anderen Weg nicht so?
...

Nein, denn dabei steht $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ausschließlich in der Wurzel.

mY+

24.10.2017, 07:50

HAL 9000

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Das ist natürlich ein überzeugendes Argument, die Ungleichung $\begin{align*} \left| \frac{3}{\sqrt{\frac{4n+3}{n}}+2}-\frac{3}{4} \right|<\varepsilon \end{align*}$ nach $\begin{align*} n \end{align*}$ aufzulösen als das kompliziertere $\begin{align*} \frac{9}{64n}<\varepsilon \end{align*}$ . Augenzwinkern

Wenn man auf eine so lange Rechnung aus ist, dann ist das mit der dritten binomischen Formel ein sinnloser Umweg, denn der restliche Arbeitsaufwand ist größer als wenn man direkt

$\begin{align*} \sqrt{4n^2+3n} > 2n+\frac{3}{4}-\varepsilon \end{align*}$

nach $\begin{align*} n \end{align*}$ umstellt.

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