Sinus Cardinalis Funktion

23.10.2017, 17:12	Sonne123	Auf diesen Beitrag antworten »
Sinus Cardinalis Funktion Hallo Gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{sin(x)}{x} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\in \mathbb R \{0} \end{eqnarray}$ . Ich soll nun zeigen, dass f zu einer ganzen Funktion fortgesetzt werden kann. Mein Ansatz: Da x im Nenner des Bruches steht, ist bei x=0 eine Definitionslücke, da mann nicht durch 0 teilen darf. Wir müssen diese Definitionslücke sozusagen "reparieren", damit die Funktion an dieser Stelle fortgesetzt werden kann. Ich würde nun die Regel von l'Hospital anweden, um an der hebbaren Singularität (x=0) die Funktion durch den Grenzwert zu ersetzten. Da bei x=0 im Zähler als auch im Nenner eine 0 steht, dürfen wir l'Hospital anwenden. Da der Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{sin'(x)}{x'}=1 \end{eqnarray}$ existiert, ist dieser zugleich der Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{x}=1 \end{eqnarray}$ . Als folge wäre die Funktion dann zu einer ganzen Funktion fortsetzbar.. aber ich bin mir leider gar nicht sicher, ob dies der richtige Weg ist, bzw. ob es eine andere Weise gibt, dies zu zeigen! Ich freu mich über jede Hilfe
23.10.2017, 17:47	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde einfach die Potenzreihenentwicklung dieser Funktion heranziehen.
23.10.2017, 18:18	Sonne123	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke dir Ich hab es mal versucht und bin auf folgendes Ergebnis gekommen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} \end{eqnarray}$ Stimmt das? und hast du einen Tipp, wie man dann am besten weiter macht?
23.10.2017, 19:00	Sonne123	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt habe ich es nochmal versucht, glaube, dass es so richtig ist: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n}=1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120} \end{eqnarray}$ Aber wie geht es dann weiter? Man sieht, dass x immer im Zähler und nie im Nenner ist. Somit existiert der Hauptteil nicht und folglich ist die Singularität hebbar!

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