Transformationsmatrix zu einer Jordannormalform finden

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pimpl Auf diesen Beitrag antworten »
Transformationsmatrix zu einer Jordannormalform finden
Guten Tag.
Ich habe grundsätzlich verstanden, wie ich eine Jordannormalform aus einer Matrix bestimmen kann.
Bitte um Überprüfung des folgenden Vorgehens:
geg. A: n*n-Matrix
ges. Jordannormalform

Vorgehen:
(i) bestimme: Eigenwerte(A) = lambda

(ii) algebraische_Vielfachheit(lambda) = exponent im Charakteristischen Polynom

(iii) geometrische_Vielfachheit(lambda) = dim(A) - rg(A - lambda*I)
--> dies gibt Anzahl der J_lambda Blöcke (zu diesem Eigenwert)

(iv) berechne alle
a_n = dim(A) - rg(A - lambda*I)^n , n = 1, 2,...,max
bis gilt:
a_max = dim(A),
bzw. rg(A - lambda*I)^max = 0

(v) Anzahl von J_lambda-blöcken mit dimension k aus:
2*a_k - a_k-1 - a_k+1

--> J_ges kann nun aus den _lambda-blöcken zusammengesetzt werden.


PROBLEM:
Wie ich nun ausgehend von dieser Jordannormalform (J_ges) eine Transformationsmatrix berechnen kann, habe ih nicht verstanden, da ich die Begriffe "kern", und "SPUR" trotz Nachschlagens nicht verstehe. Ich habe versucht das Beispiel bei Wikipedia nachzuvollziehen (https://de.wikipedia.org/wiki/Jordansche_Normalform), aber ich begreife nicht wie man den SPAN bestimmt und was mit dem Ausdruck

v^{s}\in {{\rm {Kern}}}(A-\lambda I)^{s}\setminus [{{\rm {Span}}}({{\rm {Kern}}}(A-\lambda I)^{{s-1}}\cup M)]

gemeint ist. Kann mir dies jemand in Worte fassen?

Vielen Dank!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Kern einer linearen Abbildung ist der UVR, der auf 0 abgebildet wird. Span eine Teilmenge ist die lineare Hülle von M, das ist der kleinste UVR, der M enthält.

Wo kommt Spur vor ? Spur einer Matrix ist die Summe der Hauptdiagonalelemente. Das ist die Spur der zugehörigen linearen Abbildung, denn die Spur ist darstellungsinvariant.
 
 
pimpl Auf diesen Beitrag antworten »

ich meine natürlich "Span" und nicht die "Spur"

.. verstehe nicht, was unter Span gemeint ist und wie man diese berechnut..
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Habe ich doch geschrieben, was ist an meiner Definition und Erläuterung unklar ?
pimpl Auf diesen Beitrag antworten »

wie genau berechnet man denn die Einzelnen kerne in dem Wikipedia beispiel? Ich verstehe das einfach nicht..
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Der Kern einer linearen Abbildung f(x)=Ax ist offenbar die Lösungsmenge des homogenen LGS Ax=0, also ein Untervektorraum. Man berechnet ihn mit dem Gauß-Algorithmus.
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