Injektiv, surjektiv, bijektiv Beweis

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23.10.2017, 19:33	Analysis001	Auf diesen Beitrag antworten »
Injektiv, surjektiv, bijektiv Beweis Meine Frage: Ich habe folgende Funktionen gegeben: f(x)= 3-x g(x)= x^2-1 f°g= -x^2+4 g°f= (3-x)^2-1 Meine Ideen: Wenn ich mir die Funktionen aufzeiche, kann ich ja sehen, um welche Charakteristika es sich handelt. Aber wie beweise ich das?
23.10.2017, 19:52	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohne korrekte Angabe der Funktionen mit allem was dazu gehört, ist die Frage nach injektiv/surjektiv/bijektiv nicht zu beantworten. Ansonsten lässt sich das bei solchen Funktionen sehr gut über die Definition von injektiv/surjektiv erledigen.
23.10.2017, 19:56	Analysis001	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry habe ich vergessen mit anzugeben f,g: $\begin{eqnarray} \mathbb R \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$
23.10.2017, 20:02	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann such dir mal eine der Funktionen aus und stelle eine Vermutung auf ob diese z.B. surjektiv ist oder nicht. Falls sie nicht surjektiv ist, dann müsstest du ein $\begin{align} y\in\mathbb R \end{align}$ finden welches von keinem $\begin{align} x\in\mathbb R \end{align}$ getroffen wird. Sobald du ein solches $\begin{align} y \end{align}$ gefunden hast, kann die Funktion nicht mehr surjektiv sein.
23.10.2017, 20:22	Analysis001	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann nehme ich mal die Funktion g(x)=x^2-1 Diese Funktion ist nicht surjektiv, da jedes y nicht einmal getroffen wird. x^2 ist immer positiv. Die Funktion hat einen Tiefpunkt bei (0,-1). Aber reicht das als Beweis für Surjektivität aus? Wie schreibe ich das mathematisch korrekt?
23.10.2017, 20:47	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Bisher hast du nur behauptet, dass die Funktion nicht surjektiv ist. Warum wird denn nicht jedes y getroffen, bzw. kannst du eins angeben, welches nicht getroffen wird?
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23.10.2017, 20:52	Analysis001	Auf diesen Beitrag antworten »
x^2-1 ist immer größer gleich -1. y=-3 wird nicht getroffen. -3=x^2-1 daraus ergibt sich -2=x^2 und das Quadrat einer Zahl ist immer positiv.
23.10.2017, 20:56	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Das jetzt noch etwas schöner und stringenter aufgeschrieben, und schon ist die Surjektivität widerlegt. Jetzt warten noch 3 andere Funktion auf dich!
23.10.2017, 21:04	Mathe0001	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist es ausreichend, wenn ich die Surjektivität an einem Beispiel widerlege? Und wie mache ich das bei f(x). Mache ich das dann über das Urbild? Dass ich sage, dass die Funktion surjektiv ist, denn ist y $\begin{eqnarray} \in \mathbb R \end{eqnarray}$ so hat das Urbild 3-y. Zum Beispiel gilt f(2)=1. Außerdem ist f(x) auch Injektiv, denn sein f(x1)=f(x2) so gilt f(x1)=f(x2) $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ 3-x1= 3-x2 $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ x1=x2 Und dadurch ist f(x) auch bijektiv. Kann ich das so machen?
23.10.2017, 21:10	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Angabe eines Gegenbeispiels reicht aus um etwas zu widerlegen, ja. Ein Beispiel als Beweis, dass eine Funktion surjektiv ist, reicht nicht aus. Der Weg über das Urbild ist da aber der richtige Weg, zu einem beliebigen $\begin{align} y\in\mathbb R \end{align}$ kannst du ein (evtl. von $\begin{align} y \end{align}$ abhängiges) $\begin{align} x\in\mathbb R \end{align}$ finden, sodass $\begin{align} f(x)=y \end{align}$ hat. Dein Nachweis der Injektivität ist auch in Ordnung.
23.10.2017, 21:18	Mathe0001	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Hilfe: Ich hätte noch eine kleine Frage. Und zwar soll ich noch das Bild der Funktionen angeben. Aber wie mache ich das? Ich weiß nicht wie ich das richtig schreiben soll. Könntest du mir vllt. ein Beispiel nennen?

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