Verständnisproblem eines Beweises

23.10.2017, 22:11

Pippen

Verständnisproblem eines Beweises

Der Beweis für die Tatsache, dass die leere Menge Teilmenge jeder Menge ist, geht so: Man definiert A $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ B gdw. x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A -> x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ B, woraus für unseren Fall folgt $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ A gdw. x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ -> x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A. Da der Antecedens falsch ist - kein x kann Element von $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ sein - ist die Implikations wahr, womit der Beweis erbracht sein soll. Mir kommt das Spanisch vor, dass hier EFQ zum Beweisen herangezogen wird. So könnte man damit auch beweisen, dass die nichtleere Russellsche Menge (die bekanntlich widersprüchlich wäre) oder ein sprichwörtlicher Butterkeks Teilmengen jeder Menge sind, ganz analog zu obiger Beweisführung, was aber offensichtlich doch falsch wäre.

23.10.2017, 23:41

zweiundvierzig

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RE: Verständnisproblem eines Beweises
ZF-Mengenlehre spricht nur über Mengen. Die Russellsche Menge ist keine Menge.

24.10.2017, 00:09

Pippen

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RE: Verständnisproblem eines Beweises

Zitat:

Original von zweiundvierzig
ZF-Mengenlehre spricht nur über Mengen. Die Russellsche Menge ist keine Menge.

Und genau deshalb wäre die Russell'sche Menge (RM) Teilmenge jeder Menge. Denn RM $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ A gdw. x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ RM -> x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A. Und das wäre wegen des falschen Antecedens wahr.

24.10.2017, 00:25

zweiundvierzig

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Du kannst den Ausdruck $\begin{eqnarray*} x \in \mathsf{RM} \end{eqnarray*}$ gar nicht bilden.

24.10.2017, 02:41

Pippen

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
Du kannst den Ausdruck $\begin{eqnarray*} x \in \mathsf{RM} \end{eqnarray*}$ gar nicht bilden.

Hm, RM ist wohl nach ZFC die leere Menge und die wäre bekanntlich Teilmenge jeder Menge, das klappt also doch. Aber dann eben ein Butterkeks. Dieser ist nach ZFC garantiert keine Menge, so dass auch x kein Element des Butterkekses sein kann. Dann aber wäre ein Butterkeks nach Teilmengendefinition gerade Teilmenge jeder Menge und damit doch wieder Menge?!?

24.10.2017, 08:08

Elvis

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Eine Menge kann Teilmenge einer Menge sein. Da ein Butterkeks keine Menge ist, kann er nicht Teilmenge einer Menge sein.

Wenn du ein Verständnisproblem mit der Logik des Beweises hast, dann schlage ich folgenden Beweis vor:
Sei M eine Menge, und N eine Teilmenge von M. Dann ist die Mengendifferenz M\N eine Teilmenge von M. Weil M eine Teilmenge von M ist, ist also {}=M\M eine Teilmenge von M.

24.10.2017, 13:07

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Pippen
Hm, RM ist wohl nach ZFC die leere Menge

Nein, es ist nicht die leere, sondern keine Menge, daher auch kein Gegenstand der Theorie ZF(C).

24.10.2017, 21:18

Pippen

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Zitat:

Original von Elvis
Eine Menge kann Teilmenge einer Menge sein. Da ein Butterkeks keine Menge ist, kann er nicht Teilmenge einer Menge sein.

Ein Butterkeks ist nach Definition Teilmenge einer Menge A, wenn gilt: wenn alle x Elemente des Butterkekses sind, dann auch von A. Diese Bedingung ist erfüllt, weil kein x jemals Element eines Butterkekses sein kann (falsum), so dass die Implikation wahr wäre. Oder lautet die Teilmengendefinition anders? Z.B. A ist Teilmenge von B, wenn A,B nach ZFC Mengen sind und es gilt: wenn x Element von A, dann x Element von B. Nur hab ich so eine Def. noch nie gelesen.

@42: RM (genauso wie die Allmenge) ist in ZFC die leere Menge, weil dort RM schlicht keine Elemente hat, weil wiederum die Bedigung des Aussonderungsaxioms nicht erfüllt wird. So verstehe ich es jedenfalls.

24.10.2017, 22:56

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Pippen
Ein Butterkeks ist nach Definition Teilmenge einer Menge A, wenn gilt: wenn alle x Elemente des Butterkekses sind, dann auch von A. Diese Bedingung ist erfüllt, weil kein x jemals Element eines Butterkekses sein kann (falsum), so dass die Implikation wahr wäre.

Das verstehe ich nicht.

Zitat:

Original von Pippen
@42: RM (genauso wie die Allmenge) ist in ZFC die leere Menge, weil dort RM schlicht keine Elemente hat, weil wiederum die Bedigung des Aussonderungsaxioms nicht erfüllt wird. So verstehe ich es jedenfalls.

Nein, weder die Russellsche Klasse noch die Allklasse sind die leere Menge in ZFC. Sie sind gar keine Mengen, denn es ist nur restricted comprehension erlaubt.

24.10.2017, 23:32

Pippen

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RE: Verständnisproblem eines Beweises

Zitat:

Original von zweiundvierzig
Nein, weder die Russellsche Klasse noch die Allklasse sind die leere Menge in ZFC.

Gibt's dazu einen Link?

Ansonsten - also wenn wir uns einig wären, dass RM keine Menge ist - könnten wir RM als Beispiel doch wieder hernehmen: Laut Teilmengendefinition wäre A eine Teilmenge von B, wenn alle x Element von A sind und dann auch alle x Element von B. Daher wäre RM eine Teilmenge einer Menge M, wenn alle x Element von RM wären und dann auch alle x Elemente von M. Da der Antecedens schlicht falsch wäre, wäre die Definitionsimplikation doch erfüllt, oder? Ist also meine Teilmengendefinition unvollständig? (aber so liest man sie überall)

24.10.2017, 23:47

zweiundvierzig

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RE: Verständnisproblem eines Beweises

Zitat:

Original von Pippen
Gibt's dazu einen Link?

Die Russellsche Klasse ist keine Menge wegen des Russellschen Paradoxons. Wäre sie eine Menge $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ , dann wäre die Aussage $\begin{eqnarray*} R \in R \iff R \notin R \end{eqnarray*}$ wahr. Ist sie aber nicht!

Angenommen, die Allklasse wäre eine Menge, so wäre wegen comprehension auch die Russellsche Klasse eine Menge.

Zitat:

Original von Pippen
Ansonsten - also wenn wir uns einig wären, dass RM keine Menge ist - könnten wir RM als Beispiel doch wieder hernehmen: Laut Teilmengendefinition wäre A eine Teilmenge von B, wenn alle x Element von A sind und dann auch alle x Element von B. Daher wäre RM eine Teilmenge einer Menge M, wenn alle x Element von RM wären und dann auch alle x Elemente von M. Da der Antecedens schlicht falsch wäre, wäre die Definitionsimplikation doch erfüllt, oder? Ist also meine Teilmengendefinition unvollständig? (aber so liest man sie überall)

Eine Teilmenge einer Menge ist insbes. selbst eine Menge, was für $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ nicht gilt, s.o.

25.10.2017, 12:02

Pippen

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RE: Verständnisproblem eines Beweises

Zitat:

Original von zweiundvierzig
Die Russellsche Klasse ist keine Menge wegen des Russellschen Paradoxons. Wäre sie eine Menge $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ , dann wäre die Aussage $\begin{eqnarray*} R \in R \iff R \notin R \end{eqnarray*}$ wahr.

Ja, das überzeugt mich.

Noch eine Frage zur Klassenlogik: Dort wird doch festgelegt, dass Klassen nicht selbst Elemente von Klassen sein können. Solche Klassen nennt man echte Klassen und Russell's Konstrukt soll so eine Klasse sein. Doch wie kann das sein? Russell definiert sein Konstrukt als {x|x $\begin{eqnarray*} \notin \end{eqnarray*}$ x}. Damit wäre es gerade möglich, dass eine Klasse Element einer anderen Klasse ist. Doch das ist ja ausgeschlossen durch das Postulat, keine Klasse könne Element einer anderen Klasse sein. Die Russell'sche Klasse ist dadurch jetzt sowas (mal lax ausgedrückt): {x|x $\begin{eqnarray*} \notin \end{eqnarray*}$ x und x darf keine Klasse sein}. Kann man hier nicht sagen: So wie Russell ursprünglich seine "Menge" definierte, wäre sie nichtmal eine Klasse, die sog. Russell'sche Klasse ist quasi eine neue, weil beschnittene, Form des ursprünglichen Rusellschen Konzepts.

Hinsichtlich der Teilmengendefinition kann man dann also sagen: A ist Teilmenge von B, wenn 1. A, B Mengen sind und 2. gilt: wenn x in A, dann x in B. Ok.

25.10.2017, 18:24

zweiundvierzig

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Richtig beobachtet: in Mengenlehren mit Klassen wie NBG oder MK können echte Klassen* nicht Element einer anderen Klasse sein. Klassen, die durch $\begin{eqnarray*} \{x : P(x)\} \end{eqnarray*}$ für ein Prädikat $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ dargestellt werden, enthalten daher nur Mengen.

Alternativ kann man zu ZF(C) das Axiom hinzufügen, dass jede Menge in einem Grothendieck-Universum enthalten ist. Die Elemente eines Grothendieck-Universums $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ sind dann die $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ -Mengen, die Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathcal P(U) \end{eqnarray*}$ sind die $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ -Klassen, die Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathcal P(\mathcal P(U)) \end{eqnarray*}$ sind die $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ -Konglomerate.

* Wenn man eine untypisierte Sprache haben will, ist alles eine Klasse. Mengen sind dann spezielle Klassen. Echte Klassen sind Klassen, die keine Mengen sind.

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