Vollständigkeitsaxiom

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Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständigkeitsaxiom
Hallo, es geht um den Beweis, dass aus Induktionsprinzip und das Vollstänsdigkeitsaxiom äquivalent sind. Die Hinrichtung habe ich gezeigt. Könnt ihr mir bitte Tipps geben, wie die Rückrichtung funktioniert. verwirrt
005 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständigkeitsaxiom
Welches Induktionsprinzip und welches Vollstaendigkeitsaxiom sollen denn hier gemeint und dann sogar aequivalent sein?
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständigkeitsaxiom
Hallo,
Sorry ich habe es falsch aufgeschrieben. Es geht um die Äquivalenz des Induktionsaxioms und Wohlordnungsprinzips.
Das Wohlordnungsprinzip:

Jede nichtleere Teilmenge ; N hat ein minimales (kleinstes) Element, d.h. mit für alle a aus A.
Induktionsaxiom:

Sei mit der Eigenschaft:
1.
2.
Dann gilt M=N
Wie kann ich jetzt beweisen. Aus Wohlordnungsprinzip folgt das Induktionsaxiom verwirrt
005 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständigkeitsaxiom
In "Elementare Zahlentheorie" (Remmert/Ullrich) kannst Du z.B. gucken. Die bieten Folgendes an:

genuege den beiden Voraussetzungen aus dem Induktionsaxiom. Setze dann . Da man erschliessen soll, muss sein. Zeige das, indem Du die Annahme mit dem Wohlordnungsprinzip zu einem Widerspruch fuehrst.
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständigkeitsaxiom
Ok danke smile smile

Wenn jetzt A nicht leer sei, dann ex. nach dem Wohlordnungsprinzip eine Zahl m mit Wie kriege ich jetzt den Widerspruch hin?
005 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständigkeitsaxiom
Die verfuegbaren Mittel sind sehr begrenzt. Das Wohlordnungsprinzip hast Du bereits benutzt. Da bleiben jetzt nur noch die Eigenschaften (1) und (2) aus dem Induktionsaxiom. Mit denen musst Du zu kommen. Entweder selber puzzeln oder in die Bibliothek gehen.
smile
 
 
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständigkeitsaxiom
Ich bin mir nicht sicher:

A ist auf jeden Fall nach unten beschränkt durch 1, aber das sind ja alle natürlichen Zahlen....
Wenn ich jetzt mit (2) arbeite: wenn m Element von A ist, dann muss doch m+1 Element von A sein, jedoch ist m die größte untere Schranke, d.h m ist nicht in A verwirrt verwirrt ?
005 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständigkeitsaxiom
Tipp: . Finde was, das in garantiert nicht drin ist. Das ist dann dafuer in drin.
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständigkeitsaxiom
m-1 wäre doch nicht in A? verwirrt
005 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständigkeitsaxiom
Woran liegt das? Ist ueberhaupt noch in ? Sonst waere es ja uninteressant.
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständigkeitsaxiom
m ist das kleinste Element von A, d.h. m-1 ist nicht in A. m-1 ist in N, da N durch 1 beschränkt ist verwirrt
005 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständigkeitsaxiom
Wenn koennen wir damit leider nichts anfangen. Es laufen ja alle Ueberlegungen in . Nur so zum Spass: Wie kommst Du auf ?
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständigkeitsaxiom
ich meine m-1 ist nicht Element von A, aber doch sicher in N. Wie geht es jetzt richtig? verwirrt
005 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständigkeitsaxiom
Sag jetzt halt mal ganz deutlich, warum sein muss. Sonst brauchst Du gar nicht weiterzumachen, da alle Ueberlegungen in zu erfolgen haben.
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständigkeitsaxiom
Wegen dem (2) Prinzip oder? unglücklich
005 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständigkeitsaxiom
Nein, weil nach (1). Demnach ist also und . Ab jetzt kannst Du mit hantieren.
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständigkeitsaxiom
Ok d.h das m-1 ist nicht in A, aber Element von N. Trotzdem komme ich nicht weiter unglücklich unglücklich unglücklich
005 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständigkeitsaxiom
Nachdem man jetzt ueber als natuerliche Zahl reden kann, darfst Du den Tipp fuer verwenden. Dann vielleicht noch (2), weil das hatten wir bisher noch nicht.
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständigkeitsaxiom
Wenn m das kleinste Element in A ist dann kann m-1 nicht in A liegen.
Wie wende ich jetzt 2 an?
005 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständigkeitsaxiom
Da sich (2) auf M bezieht, musst Du jetzt diskutieren, ob m-1 in M liegt, oder?
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständigkeitsaxiom
Ich habe den Faden verloren. Ich habe gezeigt, dass m-1 eine natürliche Zahl ist und m-1 nicht in A liegt. Wo will ich denn überhaupt hin?
005 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständigkeitsaxiom
Beweis in Worten. Du hast eine Menge natuerlicher Zahlen, fuer die (1) und (2) gilt. Mit dem Wohlordnungsprinzip ist zu folgern. Falls ist, fehlen in Zahlen (unsere Menge ). Nach dem Wohlordnungsprinzip gibt es eine kleinste fehlende Zahl . Wegen (1) fehlt garantiert nicht, also . Dann ist auch eine natuerliche Zahl. Sie fehlt nicht in , denn ist die kleinste fehlende Zahl. Nach (2) fehlt dann aber auch in nicht. Widerspruch. Die kleinste Zahl, die fehlen soll, fehlt gar nicht.
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständigkeitsaxiom
Aso Big Laugh smile Jetzt habe ich es verstanden. Vielen Dank für deine Hilfe und Mühe Big Laugh Freude Wink
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