Satz und Umkehrung Aufgabe für Grenzwerte

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pupsik Auf diesen Beitrag antworten »
Satz und Umkehrung Aufgabe für Grenzwerte
Hallo,

ich habe ein Problem mit einer Aufgabe. Ich habe leider gar keinen Ansatz oder eine Idee, wie ich sie lösen könnte. Bei solchen "Theorie" Aufgaben schaltet mein Kopf irgendwie immer aus.

Die Aufgabe lautet:
Satz und Umkehrung
a) Ist der nebenstehende Satz gültig? Begründen Sie.

Der nebenstehende Satz ist:
Wenn gilt, dann ist auch für eine gegen unendlich strebende Folge erfüllt.


b) Zeigen Sie am Beispiel und , dass die Umkehrung des Satzes nicht gültig ist.

Meine Ideen:
Für Aufgabe a) dachte ich mir, dass es gilt weil beide Folgen gegen unendlich streben und beide besitzen. Nur ich bin mir absolut nicht sicher.

Für Aufgabe b) weiß ich nicht so genau was ich dazu sagen könnte.

Würde mich echt über etwas Hilfe zu dem Thema freuen.

Liebe Grüße,
Pupsik
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Links steht der Grenzwert einer Funktion für x gegen unendlich. Rechts steht der Grenzwert einer Folge von Funktionswerten (dabei hast du versehentlich x gegen unendlich statt n gegen unendlich geschrieben).
a) Wenn du die Definition für Grenzwerte von Funktionen und die Definition für Grenzwerte von Folgen kennst, kannst du das ganz leicht beweisen. (Wenn nicht, musst du raten). Du sollst zeigen, dass der Folgengrenzwert für jede gegen unendlich strebende Folge mit dem Funktionsgrenzwert übereinstimmt.
b) Ist ein einfaches Beispiel, dass der Funktionsgrenzwert nicht mit einem Folgengrenzwert übereinstimmen muss. Dieses Beispiel kannst du dir leicht ausrechnen, jedenfalls den Folgengrenzwert, dann siehst du sofort, was passiert (hoffe ich jedenfalls).
 
 
pupsik Auf diesen Beitrag antworten »

a)
Also so wie ich die Definition von Grenzwert einer Funktion verstehe ist es, dass die Werte einer Funktion gegen den Grenzwert laufen, diesen aber nie berühren.

Der Grenzwert einer Folge sagt, dass unendlich viele Folgeglieder in der Umgebung des Grenzwertes liegen.

Wie kann ich das jetzt leicht beweisen? Weil mir fällt dazu nichts schlaues ein.

b)
Der Grenzwert von liegt bei .
Der Grenzwert der Folge geht ins Unendliche.

Was soll ich jetzt mit diesem Wissen anfangen?
Wie gesagt ich blick es nicht wirklich.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Begriffe sind noch nicht gut genug, da haben wir noch viel Arbeit vor uns. Fangen wir mit dem leichtesten Teil an, das ist die Sinus-Funktion in (b) und die Folge der Funktionswerte .
Berechne für n=1,2,3,... diese Funktionswerte, bis du den Grenzwert erkannt hast (das wird nicht lange dauern).
Glaubst du wirklich, dass die immer wieder zwischen -1 und +1 schwingende Sinus-Funktion einen Grenzwert hat ? Hört sie bei 1 Millionen oder bei 1 Milliarde auf zu schwingen ?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pupsik
Also so wie ich die Definition von Grenzwert einer Funktion verstehe ist es, dass die Werte einer Funktion gegen den Grenzwert laufen, diesen aber nie berühren.

Das ist eher die Definition einer Asymptote als eines Grenzwertes. Der Grenzwert einer Funktion für gegen unendlich - falls er existiert - ist eine eindeutig bestimmte Zahl , so dass für hinreichend große alle Funktionswerte sich von um beliebig wenig unterscheiden. (Zum Beispiel hat eine konstante Funktion überall denselben Grenzwert .)

Zitat:
Original von pupsik
Der Grenzwert einer Folge sagt, dass unendlich viele Folgeglieder in der Umgebung des Grenzwertes liegen.

Das ist kein Grenzwert sondern ein Häufungswert. Der Grenzwert einer Folge für gegen unendlich - falls er existiert - ist eine eindeutig bestimmte Zahl , so dass für hinreichend große alle Folgenglieder sich von um beliebig wenig unterscheiden.

Zitat:
Original von pupsik
Der Grenzwert von liegt bei .

Das kann nicht sein, weil ein Grenzwert eindeutig bestimmt ist. Wenn es keinen eindeutig besrtimmten Wert gibt, gegen den die Funktion konvergiert, dann ist die Funktion divergent und hat keinen Grenzwert.

Zitat:
Original von pupsik
Der Grenzwert der Folge geht ins Unendliche.

Nein, das macht er nicht. geht gegen unendlich, die Folgenglieder auch, aber die Funktionswerte tun das eben nicht.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pupsik
a)
Also so wie ich die Definition von Grenzwert einer Funktion verstehe ist es, dass die Werte einer Funktion gegen den Grenzwert laufen, diesen aber nie berühren.

In Ergänzung zu den Ausführungen von Elvis: insbesondere darf der Grenzwert auch als Funktionswert der Funktion f vorkommen. smile
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