Bestimmen Sie einen geschlossenen Ausdruck. (Binomialkoeffizient, Summen)

24.10.2017, 19:34

lorena99

Bestimmen Sie einen geschlossenen Ausdruck. (Binomialkoeffizient, Summen)

Meine Frage:
Ich brauche Hilfe für folgende Aufgabe:
Bestimmen Sie einen geschlossenen Ausdruck, d.h. ohne $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{}^{} \end{eqnarray*}$ und ..., für
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n-1} (-2)^k \begin{pmatrix} n \\ k+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank im Voraus.

MfG

Meine Ideen:
Muss man in diesem Fall den binomischen Lehrsatz nutzen? Wenn ja, wie formt man den Ausdruck um bzw. vereinfacht diesen, sodass der Satz anwendbar ist? Braucht man noch andere Gesetze?

24.10.2017, 21:13

HAL 9000

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Zitat:

Original von lorena99
Muss man in diesem Fall den binomischen Lehrsatz nutzen?

Zumindest ist das die naheliegende erfolgversprechende Idee.

Zitat:

Original von lorena99
Wenn ja, wie formt man den Ausdruck um bzw. vereinfacht diesen, sodass der Satz anwendbar ist?

Der Abgleich mit dem zu nutzenden $\begin{align*} (a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k} \end{align*}$ zeigt, dass wir deine Summe auch in die Form mit Binomialkoeffizient $\begin{align*} \binom{n}{k} \end{align*}$ bringen sollten, dazu dient eine passende Indexverschiebung:

$\begin{align*} \sum_{k=0}^{n-1} (-2)^k \binom{n}{k+1} = \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} (-2)^{k-1} \end{align*}$

Das sieht jetzt schon fast so aus wie $\begin{align*} ((-2)+1)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-2)^k 1^{n-k} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-2)^k \end{align*}$ . Was ist noch zu "korrigieren" ?

24.10.2017, 21:32

lorena99

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Hallo,
danke für die blitzschnelle Antwort. Man muss nur noch dafür sorgen, dass k=0 gilt würde ich sagen.

Könnten Sie die Schritte der Indexverschiebung genauer erklären?

Nochmal vielen Dank.

LG

24.10.2017, 21:54

HAL 9000

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Zitat:

Original von lorena99
Könnten Sie die Schritte der Indexverschiebung genauer erklären?

Nein, nicht schon wieder. Einmal reicht.

Zitat:

Original von lorena99
Man muss nur noch dafür sorgen, dass k=0 gilt würde ich sagen.

Das ist der eine Punkt, d.h., Summand k=0 hinzufügen und das durch eine entsprechende Subtraktion wieder korrigeren (der Termwert darf ja nicht verändert werden).

Der andere Punkt ist, dass da noch $\begin{align*} (-2)^{k-1} \end{align*}$ statt des angestrebten $\begin{align*} (-2)^k \end{align*}$ steht, darum muss man sich natürlich ebenfalls kümmern.

24.10.2017, 22:47

lorena99

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Ok die Indexverschiebung habe ich mittlerweile verstanden.

Der 1. Schritt sieht so aus, wenn ich mich nicht irre:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} (-2)^{k-1} - (-{1/2}) \end{eqnarray*}$

Doch ich komme leider nicht darauf, wie man es hinbekommt, dass man $\begin{eqnarray*} (-2)^{k} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} (-2)^{k-1} \end{eqnarray*}$ stehen hat.

24.10.2017, 23:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von lorena99
Der 1. Schritt sieht so aus, wenn ich mich nicht irre:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} (-2)^{k-1} - (-{1/2}) \end{eqnarray*}$

Ja, ist fast richtig, der Binomialkoeffizient gehört natürlich noch in die Summe rein - ich nehme mal an, den hast du nur "vergessen" zu übertragen.

Zitat:

Original von lorena99
Doch ich komme leider nicht darauf, wie man es hinbekommt, dass man $\begin{eqnarray*} (-2)^{k} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} (-2)^{k-1} \end{eqnarray*}$ stehen hat.

Potenzgesetze!!!

$\begin{align*} (-2)^{k-1} = (-2)^k\cdot (-2)^{-1} = -\frac{1}{2}\cdot (-2)^k \end{align*}$

25.10.2017, 09:07

lorena99

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Achso ja, hab ich wohl vergessen:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} (-2)^{k-1}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} - (-(1/2))\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mit dem Potenzgesetz sieht es so aus:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n}(-(1/2)) (-2)^{k}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} - (-(1/2))\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} =-(1/2) \sum\limits_{k=0}^{n}(-2)^{k}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} +(1/2)\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und so wie es aussieht kann man $\begin{eqnarray*} 1^{n-k} \end{eqnarray*}$ einfügen, da es den Wert nicht verändert, also:
$\begin{eqnarray*} -(1/2) \sum\limits_{k=0}^{n}(-2)^{k} * 1^{n-k} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} +(1/2)\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man den binomischen Satz verwenden oder?

$\begin{eqnarray*} -(1/2)((-2)+1)^{n} + 1/2\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Sind die Schritte richtig?

Entschuldigung, dass ich mich so dumm anstelle.

25.10.2017, 09:32

HAL 9000

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Bei dem ausgegliederten Summanden handelt es sich nicht um $\begin{align*} (-(-1/2))\binom{n}{k} \end{align*}$ sondern um $\begin{align*} (-(-1/2))\binom{n}{0} \end{align*}$ , und das kann man dann auch zügig zu $\begin{align*} +\frac{1}{2} \end{align*}$ vereinfachen, statt es ewig mit rumzuschleppen. Augenzwinkern

Genauso kann man im Endterm auch $\begin{align*} ((-2)+1)^n = (-1)^n \end{align*}$ vereinfachen, so dass letztlich da steht $\begin{align*} -\frac{1}{2}(-1)^n + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \left(1-(-1)^n\right) \end{align*}$ , was übrigens die formelmäßige Beschreibung der periodischen Folge

1, 0, 1, 0, 1, 0, ...

ist.

29.10.2017, 18:09

lorena99

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Vielen, vielen Dank für Ihre Geduld und die Schritt für Schritt Erklärung!!!

LG

29.10.2017, 19:56

HAL 9000

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Danke für die Rückmeldung, aber gewöhnlich duzen wir uns hier, egal ob Grundschüler oder Uniprofessor. Augenzwinkern

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