Ableitung eines ln

25.10.2017, 17:47

gragen hell

Ableitung eines ln

Meine Frage:
Hallo,

ich hatte mit meinen Dozenten einen Diskurs bzgl. folgender Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x)=ln(ax+exp(x))^4 \end{eqnarray*}$

Diese Funktion soll abgeleitet werden. Wie würdet ihr vorgehen. Es gibt 2 Optionen.

Ich sage euch weder meinen noch ihren Ansatz. Mich interessiert wie ihr intuitiv vorgegangen wärt.

Danke.

Meine Ideen:

Da ich eine unvoreingenomme Antwort will ist mein Ansatz zunächst irrelevant.

25.10.2017, 17:59

Gast251017

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RE: Ableitung eines ln
$\begin{eqnarray*} f(x) = ln g(x) --> f '(x) = g '(x)/f(x) \end{eqnarray*}$

25.10.2017, 18:25

Helferlein

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RE: Ableitung eines ln
Ich korrigiere mal den Schnellschuß unseres Gastes:

$\begin{eqnarray*} f '(x) = g '(x)/g(x) \end{eqnarray*}$

25.10.2017, 18:36

G251017

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RE: Ableitung eines ln
Danke, Helferlein. Freude

Fehler beim Hinschreiben.

25.10.2017, 18:43

Gragen Hell

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erst mal danke.

Ich würde aber ganz gerne die abgeleitete Form haben und welche Regel angewendet wird.

Was bisher geschrieben wurde sieht nach Kettenregel aus, oder ?

25.10.2017, 19:20

HAL 9000

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Da es leider immer wieder Missverständnisse hinsichtlich des Geltungsbereiches von Funktionsoperatoren wie $\begin{align*} \ln,\sin,\cos \end{align*}$ usw. gibt, würde ich zunächst wissen wollen, ob du

a) $\begin{eqnarray*} f(x)=\ln\left((ax+\exp(x))^4\right) \end{eqnarray*}$

oder

b) $\begin{eqnarray*} f(x)=\left(\ln(ax+\exp(x))\right)^4 \end{eqnarray*}$

meinst?

25.10.2017, 19:39

Gragen Hell

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sehr richtig erkannt. Freude

Genau das war auch mein Problem.

Die Aufgabe lautet exakt so:

$\begin{eqnarray*} f(x)=ln(ax+exp(x))^4 \end{eqnarray*}$

Für mich persönlich - wie auch für Wolfram Alpha und das "Derive Tool"
wird die Notation so aufgefasst:

$\begin{eqnarray*} f(x)=ln^4(ax+exp(x)) \end{eqnarray*}$

d.h die ln-Funktion wird SELBST 4-fach potenziert. Das entspricht auch allem was ich bislang kennengelernt habe.

Meine Mathedozentin (Hust Chemikerin) und mein Physikprof meinten ich läge falsch.

Sie hat nämlich in der Vorlesung die "Lassoregel" angewandt.

$\begin{eqnarray*} ln(u^k)=k*ln(u) \end{eqnarray*}$

Sie hat also folgenden Ausdruck abgeleitet:

$\begin{eqnarray*} 4*ln(ax+exp(x)) \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz war die Anwendung der Kettenregel. Ich empfinde die Notation ebenfalls als zweideutig. Für die Eindeutungkeit benötigt man - wie du angemerkt hast - eine weitere Klammer.

Ich kam mir ziemlich doof vor und wollte mir hier mal eine 2. Meinung einholen. Gott

26.10.2017, 12:00

Gragen Hell

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Heißt dass dann das es keineswegs eindeutig ist wie diese Funktion abzuleiten ist ?

Mir wurde es von meinen Dozenten nämlich so dargestellt, dass diese Notation so aufzufassen ist, dass sich der ln auf die Hochzahl bezieht und nicht umgekehrt.

Aber analog dazu bspw.

$\begin{eqnarray*} sin(ax+exp(x))^4 \end{eqnarray*}$

Hier wird ja auch die Kettenregel angewandt und nicht einfach nur das Argument des Sinus potenziert.

26.10.2017, 12:07

klarsoweit

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Egal, in welcher Reihenfolge die 4er-Potenz angewendet wird, in jedem Fall ist beim Ableiten die Kettenregel zuständig.

Solange es keine Konvention gibt, wie ein derartiger Ausdruck zu lesen ist, ist dieser nicht wohldefiniert und damit ungültig.

26.10.2017, 12:12

Gragen Hell

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Hmm ok

Die Kettenregel greift in jedem Falle. Aber wenn ich die Hochzahl rausziehe ("Lassoregel") und dann die Kettenregel anwende oder eben die Kettenregel gleich zu Beginn auf den gesamten Ausdruck beziehe erhalte ich ein ganz anderes Ergebnis.

Was mich an der Sache eben genervt hat war, dass sie es so dargestellt haben als sei mein Problem völlig unbegründet.

Na ja Chemiker und Physiker sind eben trotz allem keine Mathematiker.

Ich halte fest: nicht eindeutig definiert. Für die Eindeutige Definition muss man die Klammer setzen wie von Hal bereits angemerkt.

26.10.2017, 13:17

klarsoweit

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Zitat:

Original von Gragen Hell
Aber wenn ich die Hochzahl rausziehe ("Lassoregel") und dann die Kettenregel anwende oder eben die Kettenregel gleich zu Beginn auf den gesamten Ausdruck beziehe erhalte ich ein ganz anderes Ergebnis.

Wenn du vor dem Ableiten äquivalente Umformungen machst, ändert das nichts an der Ableitung.

26.10.2017, 13:55

Hagen Grell

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Wenn ich den Ausdruck

$\begin{eqnarray*} 4*ln(ax+exp/x)) \end{eqnarray*}$

ableite nach dem ich angewandt habe

$\begin{eqnarray*} ln(ax+exp(x)^4=4*ln(ax+exp(x)) \end{eqnarray*}$

erhalte ich als Ableitung

$\begin{eqnarray*} (4 (a + e^x))/(a x + e^x) \end{eqnarray*}$

Wenn ich es jedoch so auffasse

$\begin{eqnarray*} ln^4(ax+exp(x)) \end{eqnarray*}$

erhalte ich als Ableitung

$\begin{eqnarray*} (4 (a + e^x) ln^3(a x + e^x))/(a x + e^x) \end{eqnarray*}$

Ist doch nicht dasselbe Lehrer

26.10.2017, 14:12

klarsoweit

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Zitat:

Original von Hagen Grell
Wenn ich es jedoch so auffasse

Ich habe auch von äquivalenten Umformungen geredet, nicht von "das kannst du auffassen, wie du willst". Wenn du unterschiedliche Funktionen ableitest, erhältst du (in der Regel) auch unterschiedliche Ableitungen.

26.10.2017, 14:31

Gragen Hell

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Ja, darum geht es ja. Was leite ich ab

Ausgangsaufgabe. Leiten sie den folgenden Ausdruck einmal ab:

$\begin{eqnarray*} ln(ax+e^x)^4 \end{eqnarray*}$

Option 1 (laut meinen Dozenten EINDEUTIG)

Es wird die zunächst die "Lassoregel" angewandt - dann die Kettenregel.

Sie leiten dies ab:

$\begin{eqnarray*} 4*ln(ax+e^x) \end{eqnarray*}$

Option 2 (meiner Ansicht nach und auch Syntax jedes Tools, WOlfram Alphas und des Taschenrechners:

Ich leite ab:

$\begin{eqnarray*} ln^4(ax+e^x) \end{eqnarray*}$

Meine Frage ist: Was stimmt denn nun ?!

Was ist "eher richtig" - intuitiv. Wie hättet ihr es gemacht wenn es in eurer Klausur so gestellt worden wäre?

26.10.2017, 14:39

klarsoweit

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Damit sind wir aber wieder bei der Ausgangsfrage, nämlich nach der Wohldefiniertheit dieser Ausdrücke. Es geht aber nicht um das "Wunder", daß unterschiedliche Funktionen auch unterschiedliche Ableitungen haben.

26.10.2017, 14:51

Gragen Hell

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Nein, das soll auch kein "Wunder sein ...

Nach Meinung meiner Dozentin und der Physikprofs sei mein Problem nicht nachvollziehbar da das allgemeine Konvention sei - und das ist hier die Frage. Wohl offensichtlich nicht.

Sehr geehrter Herr ...,

"ich habe mich heute ausführlich mit Herrn Prof. Brecht und Frau Scholz über die Klammernotation unterhalten. Da kein mathematisches Problem besteht, gibt es von meiner Seite keinen weiteren Handlungsbedarf. Die von mir gestellte Aufgabe ist korrekt angegeben."

Und weiter:

"Hallo Zusammen,

heute in der Vorlesung hatten wir eine Klammerdiskussion bezüglich Aufgabe 2d. So wie die Aufgabe gestellt ist, ist es korrekt und in allen einschlägigen Mathematikbüchern zu finden. Die Hochzahl 4 bezieht sich auf den gesamten Numerus in der Klammer. Die Logarithmusregel kann somit problemlos angewendet werden.

Wolfram-Alpha hingegen verwendet Syntax-Elemente, die zwingend Klammern erfordern. NIE würde man die Klammern so setzen, wenn man mit Papier und Stift rechnet."

Wie es sich aber nun zeigt ist das alles andere als eindeutig.

26.10.2017, 16:16

ML_

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RE: Ableitung eines ln

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(x)=ln(ax+exp(x))^4 \end{eqnarray*}$

Wer verstanden werden möchte, schreibt hier sinnvollerweise entweder:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\ln\left[(ax+\exp(x))^4\right] \end{eqnarray*}$ oder
$\begin{eqnarray*} f(x)=\left[\ln(ax+\exp(x))\right]^4 = \ln^4(ax+\exp(x)) \end{eqnarray*}$

Man kann sich natürlich stur stellen und darauf beharren, dass nur die eine oder die andere Variante richtig ist. Aber das ist weniger ein mathematisches Problem, als ein Problem der eigenen Eitelkeit. Hierfür scheinen manche Professoren besonders anfällig zu sein.

Beachte, dass bei einem guten Druck die Funktionsnamen in geraden Buchstaben (nicht kursiv) gesetzt werden. Bei LateX verwendest Du dann \ln anstelle von ln bzw. \exp anstelle von exp, \sin anstelle von sin usw. Um manuell "gerade" zu setzen, kannst Du \mathrm{...} verwenden. Eigentlich macht man das bei allen echten Konstanten (nicht aber bei physikalischen Konstanten). Insofern bin ich mir nicht ganz sicher, ob man die Ausdrücke vielleicht sogar so setzen würde:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\ln\left[(\mathrm{a}x+\exp(x))^4\right] \end{eqnarray*}$ oder
$\begin{eqnarray*} f(x)=\left[\ln(\mathrm{a}x+\exp(x))\right]^4 = \ln^4(\mathrm{a}x+\exp(x)) \end{eqnarray*}$

26.10.2017, 16:27

Leopold

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@ Gragen Hell

Ich muß leider deiner Dozentin recht geben. Folgende Lesarten sind in der Analysis üblich:

$\begin{align*} \sin x^2 = \sin \left( x^2 \right) \, , \ \ \sin^2 x = \left( \sin x \right)^2 \end{align*}$

Ich selber setze aber im ersten Fall eigentlich immer die Klammer, weil ich weiß, daß das schnell falsch aufgefaßt werden kann.

Wie immer gibt es aber für alles Ausnahmen. So kann es passieren, daß jemand mit $\begin{align*} \ln^n \end{align*}$ auch die Verkettung $\begin{align*} \underbrace{\ln \circ \ln \circ \ldots \circ \ln}_{n \text{-mal}} \end{align*}$ meint. So etwas wird aber in der Regel im Kontext dieses Ausdrucks vorher vereinbart.

Und - Wolfram Alpha mag ein hervorragendes Algebra-System sein, ist aber keine verbindliche Referenz für gültige mathematische Notationen.

26.10.2017, 16:47

Gragen Hell

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Hmm ok

aber was wäre dann

$\begin{eqnarray*} \sin(x)^2 \end{eqnarray*}$

Jedenfalls kann ich schon mal festhalten, dass die Notation eben nicht so eindeutig ist wie es dargestellt wurde. Das zeigt ja auch die Diskussion hier.

26.10.2017, 17:03

Leopold

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Die Frage beantwortet sich von selber, denn $\begin{align*} (6)^2 \end{align*}$ ist nichts anderes als $\begin{align*} 6^2 \end{align*}$ . Um Grundterme werden keine Klammern gemacht. Oder besser gesagt: sie sind überflüssig. Eine Klammer ist erst nötig, wenn durch die Regel "Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich" die ursprüngliche Bedeutung verändert würde: $\begin{align*} 6^2 = (2 \cdot 3)^2 \end{align*}$ (und natürlich nicht $\begin{align*} 2 \cdot 3^2 \end{align*}$ ).

26.10.2017, 17:10

Gragen Hell

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Also

$\begin{eqnarray*} \sin(x)^2=\sin^2(x)=(\sin(x))^2 \end{eqnarray*}$

Also ist meine (Intuitive) Interpretation doch richtig.

$\begin{eqnarray*} \ln(ax+e^x)^4=\ln^4(ax+e^x) \end{eqnarray*}$

26.10.2017, 17:31

Leopold

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Nein. Sondern wegen $\begin{align*} \color{red} (x)^2 = x^2 \end{align*}$ gilt

$\begin{align*} \sin \color{red} (x)^2 \color{black} = \sin \color{red} x^2 \color{black} = \sin \color{red} \left( x^2 \right) \end{align*}$

Aber wir können das Spielchen jetzt so weiter treiben. Du wirst vielleicht in einigen Büchern (oder Computer-Algebra-Systemen) sogar Belegstellen für deine Ansicht finden. Das ändert nichts daran, daß die überwiegende Mehrheit der Analysis-Treibenden das anders sieht.
Du hast ja recht, wenn du in diesen Notationen Klärungsbedarf siehst. Du kannst jetzt rechthaberisch deine Ansicht verteidigen. Du kannst auch mit einem Anwalt kommen. Und mit etwas Glück findest du in Deutschland immer einen Richter, der dir recht gibt. Statt 7 Punkten auf die Klausur bekommst du dann 8. Toll.
Nein, ich würde dir anderes empfehlen. Du hast hier eine wunde Stelle bei Notationsfragen der Analysis gefunden. Du hast darüber nachgedacht. Und du hast etwas daraus gelernt. Wenn du künftig selber in der Pflicht bist, so etwas aufzuschreiben, wirst du im Zweifel lieber eine Klammer mehr setzen, damit andere nicht in Versuchung geführt werden, das mißzuverstehen. Und damit wäre doch schon viel gewonnen.

$\begin{align*} \sin^2 x = \left( \sin(x) \right)^2 \, , \ \ \sin^5 x = \left( \sin(x) \right)^5 \, , \ \ \sin^{-1} x = \color{red} \text{WÜRG!} \end{align*}$

26.10.2017, 17:34

005

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@Leopold

Manche Leute haben was gegen polnische Notation im Zusammenhang mit Funktionskuerzeln und schreiben immer $\begin{eqnarray*} \sin(x) \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \sin x \end{eqnarray*}$ . Was ist dann $\begin{eqnarray*} \sin(x)^2 \end{eqnarray*}$ ? Muss dan wohl $\begin{eqnarray*} [\sin(x)]^2 \end{eqnarray*}$ gemeint sein. Weil das Klammerpaar gehoert zur Funktion und nicht zum $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

26.10.2017, 17:45

Leopold

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Deshalb habe ich immer von "Analysis-Treibenden" und ähnlich gesprochen. In der Analysis wird es (überwiegend) so gehandhabt. In anderen Zweigen der Mathematik mag anderes gelten: Wer in der Logik induktiv einen Term- oder Ausdruckskalkül aufbaut, hat ganz andere Sorgen.
Aber ich will selber auch nicht zu rechthaberisch sein. Ich habe in meinem vorigen Beitrag ja geschrieben, daß man sicher auch Belege für andere Interpretationen finden wird. Von den Dozenten des Herrn Hell wäre es sicher einfühlsamer gewesen, die Problematik nicht zu verleugnen und ein bißchen Kulanz an den Tag zu legen. Aber es ist, wie es ist.

26.10.2017, 18:12

Gragen Hell

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Ok vielen Dank für die Antworten.

Wie gesagt ging es mir eben darum zu klären inwieweit es ein/zweideutig ist.

Und wie sich herausgestellt hat ist es eben nicht so 100% deutig wie es mir vom Physikprof erzählt wurde. Aber die Mathedozentin hab ich sehr verwirrt mit Wolfram Alpha traurig

26.10.2017, 18:17

Leopold

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Es ist eben eindeutig zweideutig.

26.10.2017, 18:56

005

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@Hell

Du koenntest es thematisieren und vom Dozenten eine Festlegung einfordern. Soll in dieser Vorlesung polnische Notation im Zusammenhang mit Funktionskuerzeln ( $\begin{eqnarray*} \sin x \end{eqnarray*}$ ) benuzt werden oder sollen stets Argumentklammern ( $\begin{eqnarray*} \sin(x) \end{eqnarray*}$ ) geschrieben werden werden? Falls polnische Notation: Wann ist das Funktionsargument zu Ende? Ist $\begin{eqnarray*} \log xy=\log(xy) \end{eqnarray*}$ ? (Wobei hier keine Argumentklammern stehen, das Argument ist $\begin{eqnarray*} (xy) \end{eqnarray*}$ .) Etc.

26.10.2017, 19:48

Gragen Hell

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Alles klar - sehr interessant. Polnische Notation also.

Aber ich lasse es nun dabei bewenden. Ich habe nur ein Modul Mathe im 1. Sem. und in Physik/Physikalischer Chemie wird die Notation eindeutiger sein.

Aber vielen Dank Freude

27.10.2017, 06:39

Leopold

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Zitat:

Original von Gragen Hell
und in Physik/Physikalischer Chemie wird die Notation eindeutiger sein.

Die Hoffnung stirbt zuletzt.

27.10.2017, 07:24

Dopap

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mein TR fordert grundsätzlich Funktionsklammern und kennt kein implizites Mal.
Zusätzlich haben Funktionen Priorität vor Potenzen.
Und damit ist das Problem keines mehr.
$\begin{eqnarray*} sin(2) \end{eqnarray*}$ ist Sinus von 2
$\begin{eqnarray*} nis \end{eqnarray*}$ ist ein 'name'
$\begin{eqnarray*} nis(3) \end{eqnarray*}$ ist 'undefind user function'
$\begin{eqnarray*} n\cdot i\cdot s \end{eqnarray*}$ ist n mal imaginäre Einheit mal s Augenzwinkern

Ich verwende nur die RPN -Logik ( Reverse Polish Notation ) da braucht man gar keine Klammern.

Was ist << k v c / SQ NEG 1 + SQR INV = >> ?

Richtig, $\begin{eqnarray*} k=\frac {1}{\sqrt{1-(\frac vc)^2}} \end{eqnarray*}$

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