Induktionsbeweis bei Primzahlen

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M3alma Auf diesen Beitrag antworten »
Induktionsbeweis bei Primzahlen
Meine Frage:
Seien a1, . . . , an ? Z und p eine Primzahl. Wenn p|(a1,a2... an), beweisen Sie durch Induktion, dass es i?{1, . . . , n} gibt mit p|ai

Meine Ideen:
Mir es einfach nicht klar wie ich anfangen soll
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Jede vollständige Induktion fängt mit dem Induktionsanfang an.

Induktionsanfang (). Behauptung: oder
Beweis: ...

Warum bei dir eine Primzahl eine Klammer teilen soll verstehe ich allerdings nicht. Ich denke, p soll ein Produkt teilen.
 
 
M3alma Auf diesen Beitrag antworten »

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Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Sag ich doch. p teilt ein Produkt, du hast ein falsches Komma nach dem a1 geschrieben.
M3alma Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiss immer noch nicht wie soll mein Beweis anfangen unglücklich
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Mit dem Induktionsanfang. den Beweis dafür kann man z.B. über die Primfaktorzerlegung machen.
M3alma Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiss das Wenn die Primfaktorzerlegungen von a≥1 ,b≥ 1 schon vorliegen, so laßt sich (a,b) leicht bestimmen, ohne den euklidischen Algorithmus zu bemuhen
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Darum geht es nicht, die Aufgabe ist viel einfacher.
M3alma Auf diesen Beitrag antworten »

ich finde die is schwer verwirrt
leider weiss ich garnicht wie ich das machen soll
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

1. wenn "Primzahl" so definiert ist, ist nach Definition klar
2. wenn das nicht so definiert ist: sei prim,
(Sorry, ich dachte, du weißt, was die Primzerlegung einer ganzen Zahl ist. Wir haben das in der Schule gelernt.)

Mit Induktion kommst du jetzt bestimmt zum Ziel. Wenn man die Primzerlegung hat, ist das eigentlich gar nicht nötig, denn in einem n-fachen Produkt muss als Faktor ja auch irgendwo sein. Aber die Aufgabe soll wohl eine Übung für vollständige Induktion sein. Was macht man eigentlich, wenn man die obige Definition nicht kennt und weder Primzerlegung noch Induktion hat ?
iQMV Auf diesen Beitrag antworten »

meinten sie dass wir uns also eine Zahl vornehmen, deren Zerlegung wir finden möchten. Nun beginnen wir mit der kleinsten Primzahl, 2, und prüfen, ob unsere Zahl durch 2 teilbar ist. Wenn ja, dann notierst du dir die 2 als Faktor und versuchst ab jetzt, das Ergebnis der ersten Division zu zerlegen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, die Primzahl ist fest. Die vollständige Induktion läuft über , das ist die Anzahl der Faktoren des Produkts , das nach Voraussetzung von geteilt wird. Die Behauptung ist, dass (mindestens) einen der Faktoren teilt.

Für habe ich den Induktionsanfang bewiesen. Den Induktionsanfang habe ich ganz bewußt auf 2 verschiedene Arten bewiesen.
1.) In jedem Ring ist die Teilbarkeitsrelation definiert, und man definiert Primelemente durch .
2.) Wenn man diese Definition nicht kennt oder nicht benutzen möchte, kann man in einem faktoriellen Ring die eindeutige Primelementzerlegung benutzen. In einem faktoriellen Ring hat jedes Element eine bis auf die Reihenfolge eindeutige Produktdarstellung aus einer Einheit und Primelementen. Für den Ring der ganzen Zahlen kennt man das aus der Schule, die Einheiten sind +1 und -1, die Primelemente sind die Primzahlen.

Jetzt muss nur noch der Induktionsschritt von Faktoren auf Faktoren gemacht werden.
M3alma Auf diesen Beitrag antworten »

sei für alle m mit 2 ≤ m ≤ n erfüllt. Ist nun n + 1 eine Primzahl, so ist n + 1 selbst der gesuchte Teiler. Ist n + 1 keine Primzahl, so gibt es zwei Zahlen a , b mit a ≤ b = n + 1 und 2 ≤ a,b ≤ n . Beide Zahlen erfüllen also die Induktionsvoraussetzung. Insbesondere besitzt a einen Primzahl-Teiler p.
P teilt auch n + 1 und ist somit ein Primzahl-Teiler von n + 1 ?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich nicht lesen, ist aber mit Sicherheit falsch. Versuche zu verstehen, was du beweisen möchtest, dann ist der Beweis trivial.
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