Abbildungen |
| 26.10.2017, 18:56 | MatheStudent100 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Abbildungen folgende Abbildung ist gegeben: Ich soll entscheiden, ob dies injektiv oder surrjektiv ist. Soll ich dann für Injektvität einfach die Definition prüfen also x1,x2,x3 und x1*, x2*,x3* einsetzten und schauen ob f(x1,x2,x3)=f(x1*,x2*,x3*) ist. Wenn ja vergleiche ich dann die einzelenen Einträge der matrix? 
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| 26.10.2017, 21:47 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo MatheStudent100, bist du sicher, dass R^2 als Ausgangsraum gemeint ist? Die Definition prüfen ist grundsätzlich eine gute Idee. Was du schreibst, klingt aber eher nach der Definition einer Abbildung (zu jedem x aus dem Definitionsbereich ein eindeutiges y), anstatt nach der Definition der Injektivität (zu jedem y aus der Bildmenge ein eindeutiges Urbild x). Ich fürchte, du musst anders herum vorgehen, schau noch mal genau rein. LG sibelius84 |
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| 26.10.2017, 22:06 | MatheStudent100 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja stimmt. Die Abbildung geht vom R^3 aus: Ich will zeigen aus f(x1,x2,x3)=f(x1*,x2*,x3) folgt x1=x1*,x2=x2*,x3=x3* Ist das nicht richtig? |
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| 26.10.2017, 22:18 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
So ist es richtig, ja! 
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| 26.10.2017, 22:23 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das ist richtig, aber der direkte Weg ist kürzer. Betrachte x1=x2=x3 |
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| 26.10.2017, 22:55 | MatheStudent100 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn ich x1=x2=x3 betrachte komme ich doch auf die Nullmatrix. Meinst du das so?
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| 26.10.2017, 23:02 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Was bedeutet das denn dann mit der Nullmatrix? Injektiv oder nicht? Ja, wenn man versucht, Injektivität zu beweisen bzw. ein Gegenbeispiel anzugeben, sollte man bei dieser Matrix tatsächlich relativ schnell fündig werden 
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| 26.10.2017, 23:05 | MatheStudent100 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich sehe da nicht den Grund dafür. Wsl ist sie nicht injektiv. Ich bin verwirrt 
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| 26.10.2017, 23:09 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Eine Abbildung ist injektiv, wenn zwei unterschiedliche Argumente auch immer auf zwei unterschiedliche Werte geschickt werden: "kein Wert wird doppelt getroffen". (Unter "Wert" sind hier die 2x2-Matrizen aus dem Zielraum zu verstehen und unter "Argument" die 3er-Vektoren aus dem Ausgangsraum R^3.) Eine Abbildung ist demnach nicht injektiv, wenn es zwei unterschiedliche Argumente gibt, die auf denselben Wert geschickt werden: "es gibt einen Wert, der doppelt getroffen wird". Nun sagen Elvis und du: Immer dann, wenn man einen Vektor x=(x1,x2,x3) einsetzt, bei dem alle drei Komponenten gleich sind, kommt die Nullmatrix raus. Also...? |
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| 26.10.2017, 23:13 | MatheStudent100 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Aha 
Danke danke 
D.h die Abbildung ist nicht injektiv, denn für alle Vektoren mit 3 gleichen Komponenten ist das Bild der Abbildung die Nullmatrix. Wie kann ich surrjektivität sehen oder nicht? |
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| 26.10.2017, 23:22 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Sagen wir mal, wir haben die Matrix . Wenn du jetzt prüfen möchtest, ob diese Matrix getroffen wird, dann müsste es ja ein x=(x1,x2,x3) geben mit . Dies ist, komponentenweise gelesen, ein lineares Gleichungssystem mit 3 Variablen und 4 Gleichungen. Entweder es ist unlösbar, du kannst kein solches x finden - dann liegt die Matrix nicht im Bild, die Abbildung ist nicht surjektiv. Oder es ist lösbar, und es gibt ein solches x mit f(x)=. Dann versuche andere Matrizen, wo du das Gefühl oder Gespür (oder mit etwas Übung einen Blick dafür) hast, dass sie nicht im Bild liegen. Am allgemeinsten ist der Ansatz . Wenn man da (in Abhängigkeit von a,b,c,d) immer eine Lösung für x angeben kann, liegen alle 2x2-Matrizen im Bild und die Abbildung ist surjektiv. LG sibelius84 |
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| 26.10.2017, 23:29 | MatheStudent100 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich habe dein Gls nachgerechnet. Es hat keine Lösung. Also ist f nicht surrjektiv. Wie bist du da drauf gekommen. Wie siehst du das 
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| 26.10.2017, 23:36 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich sehe überhaupt nichts. 
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| 26.10.2017, 23:42 | MatheStudent100 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wie bist du dann auf deine Beispielmatrix gekommen? |
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| 27.10.2017, 11:56 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn ich vermuten würde, dass die Abbildung surjektiv ist, würde versuchen, die 4 Basismatrizen, des zu treffen, das sind die Matrizen . Da eine lineare Abbildung vom in den niemals surjektiv sein kann, und erst recht nicht, wenn auch noch ein eindimensionaler Untervektorraum auf den Nullvektor abgebildet wird, muss es leicht möglich sein, zu zeigen, dass diese Basismatrizen nicht alle getroffen werden können. Tatsächlich sieht man sofort, dass keine dieser 4 Matrizen im Bild liegt. Lustigerweise liegt das Beispiel von sibelius84 im Bild, er sagt ja auch, dass er überhaupt nichts sieht. offenbar wollte er dich nur zum Nachdenken und Arbeiten anregen. |
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| 27.10.2017, 18:59 | MatheStudent100 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Aso vielen Dank. Jedoch haben wir eine Basis noch nicht eingeführt. Gibt es da eine andere Möglichkeit. Oder ist dann das Gls wie sibelius sagt zu lösen? |
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| 27.10.2017, 19:07 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ob mit oder ohne Wissen über die Basis muss stets das kleine LGS gelöst werden (bzw. hier mal schnell nachgewiesen werden, dass sie nicht lösbar sind - einmal scharf ansehen genügt). |
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| 27.10.2017, 21:53 | MatheStudent100 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
D.h ich muss folgendes System lösen wenn ich von der Basismatrix mit a_11 =1 ausgehe. 1.x1-x2. =1 2. x2-x3=0 3. -x2 +x3=0 4.x1. -x3=0 |
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| 27.10.2017, 22:33 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
So sieht's aus.
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| 28.10.2017, 09:45 | MatheStudent100 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok dann habe ich es verstanden. Wenn man jetzt folgende Fuktion nimmt g:R^2 nach R
x,y) nach xy.Diese wäre nicht injektiv, denn z.b (1,0), (2,0) liefert den gleichen Wert 0. Sie ist surrjektiv, denn wenn man z.b y=1 und x bliebig wählt, ist das Bild ganz R. Geht das so? |
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| 28.10.2017, 09:52 | MatheStudent100 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es soll heißen (x,y) nach xy |
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| 28.10.2017, 11:51 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wie löst du denn dieses Gleichungssystem ? |
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| 28.10.2017, 11:58 | MatheStudent100 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Mit dem Gausverfahren. Am Ende komme ich auf folgendes: x1-x2 =1 x2-x3=0 0=-1 Also keine Lösung. Ist das falsch gewesen? |
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| 28.10.2017, 12:07 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das ist nicht falsch, aber ich habe gesagt, dass man das sofort sehen kann. Deshalb möchte ich nachtragen, wie ich das sehe. Die Gleichungen 2. und 4. ergeben x1=x2=x3 und stehen im Widerspruch zur Gleichung 1. x1=x2+1 Genauso bei den anderen 3 Basismatrizen, also ist die Abbildung nicht surjektiv. |
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| 28.10.2017, 12:11 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Stimmt inhaltlich, aber surjektiv schreibt sich mit einem r . |
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| 28.10.2017, 12:18 | MatheStudent100 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Aha ok. Danke für deine Sichtweise:
Reicht das als Begründung? |
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| 28.10.2017, 12:46 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das reicht nicht nur, das ist ein perfekter Beweis. |
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| 28.10.2017, 13:28 | MatheStudent100 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Juhu
Ich will dich nicht nerven, aber es gäbe noch 2 Beispiele. Also erstmal folgendes f:R nach R^2 mit x nach (x^5,x) Diese ist nicht surjektiv, denn (1,0) liegt nicht im Bild von f Ich vermute, dass f injektiv ist. Jedoch fehlt mir der formale Beweis. Vllt so aus x1ungleich x2 folgt f(x1)=(x1^5,x1) ungleich f(x2)=(x2^5,x2) ? |
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| 28.10.2017, 13:32 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, so einfach ist das, wenn man die Definitionen erst einmal verstanden hat. |
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| 28.10.2017, 13:44 | MatheStudent100 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dann noch ein letztes Beispiel: f: R^2 nach R^2 : (x,y) nach (y^5,x^23) Die Funktion ist surjektiv, da das Bild der ganze R^2 ist. Wie begründe ich das am besten? |
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| 28.10.2017, 14:25 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das stimmt, weil jede ungerade Potenz für bijektiv ist. |
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| 28.10.2017, 14:33 | MatheStudent100 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke
Injektiv müsste f auch sein. (x,y) ungleich (x',y') daraus folgt f(x,y)= (y^5,x^23) ungleich f(x',y')=(y'^5,x'^23) |
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| 28.10.2017, 17:59 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, deshalb habe ich auf die Bijektivität der ungeraden Potenzfunktionen hingewiesen. Bijektiv = injektiv und surjektiv. |
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| 28.10.2017, 18:04 | MatheStudent100 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Tut mir leid . Ich habe das bijektiv als surjektiv gelesen. Dann ist es klar
Ist der Beweis für injektiv trotzdem richtig? |
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| 28.10.2017, 18:13 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Richtig ja, aber ein wenig überflüssig. |
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| 28.10.2017, 18:18 | MatheStudent100 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja klar. Es ging mir nur um das Verständis und das richtige Anwenden der Definitionen.
Aber dank dir klappt das jetzt alles. Vielen Dank. Schönen Abend noch
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