Summe mit Binomialkoeffizient ausrechnen

26.10.2017, 22:20

megachiller

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Summe mit Binomialkoeffizient ausrechnen

Meine Frage:
Servus.
Auf meinem neuen ÜB gibt es eine Aufgabe in der man Summen vereinfachen bzw. eine Formel für diese Summe ohne Summenzeichen formulieren muss.

Ich sitz schon ewig dran aber komm bei dieser nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \begin{pmatrix} 2n \\ 2k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wäre nett wenn ihr mir ein Ansatz geben könntet (Ich würde gerne so viel wie möglich selbst machen).
Wahrscheinlich voll einfach für alle, aber bin erst seit 2 Wochen im Studium, also bitte verzeiht mir meine Dummheit haha

Danke im Voraus!

Meine Ideen:
Es ist ja quasi der normale Binomialsatz

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} * a^{n} * b^{n-k} = (a+b)^{n} \end{eqnarray*}$

mit a,b=1 und nur geraden Zahlen im unteren Teil des BK.

Also wäre es ja das gleiche, wie wenn man jede Zahl für k einsetzt und die Ungeraden abzieht, denn dann kann man ja auf den hinteren Summanden den Binomialsatz anwenden.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \begin{pmatrix} 2n \\ 2k \end{pmatrix} = \sum\limits_{k=1}^{n} \begin{pmatrix} 2n \\ k \end{pmatrix} - \sum\limits_{k=1}^{n} \begin{pmatrix} 2n \\ 2k+1 \end{pmatrix} = 2^{2n} - \sum\limits_{k=1}^{n} \begin{pmatrix} 2n \\ 2k+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nur habe ich das dumpfe Gefühl, dass ich hiermit komplett auf dem Holzweg bin.

edit Mathema: LaTeX-Tags gesetzt

26.10.2017, 22:25

sibelius84

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chill mal mega, klingt doch gut! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du musst, wenn ich das richtig sehe, im Prinzip tatsächlich nur (1+1)^(2n) und (1-1)^(2n) mit dem Binomialsatz ausrechnen und mit etwas Geschick subtrahieren / weiter umformen.
Gruß
sibelius84

26.10.2017, 22:29

megachiller

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RE: Summe mit Binomialkoeffizient ausrechnen
Tut mir Leid, ich hab die Formeln verkackt. Ich hab die Frage nochmal richtig hochgeladen.

26.10.2017, 22:36

megachiller

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wie kommst du auf (1-1)^2n?

26.10.2017, 22:39

sibelius84

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RE: Summe mit Binomialkoeffizient ausrechnen
Ich beantworte das einfach mal so:

Zitat:

Original von megachiller
Also wäre es ja das gleiche, wie wenn man jede Zahl für k einsetzt und die Ungeraden abzieht, ...

Möglicherweise ist ja (1-1)^(2n) ein nützliches Werkzeug, um deinen Plan in die Tat umzusetzen Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.10.2017, 22:47

sibelius84

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Und übrigens:

Zitat:

Original von megachiller
Ich bin so verteilt haha Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das ist völlig ok. Verstöße gegen das Distributivgesetz gibt es hier wohl schon genug Big Laugh

Big Laugh

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26.10.2017, 22:53

megachiller

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RE: Summe mit Binomialkoeffizient ausrechnen
Habe ich das richtig verstanden, du meinst:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \begin{pmatrix} 2n \\ 2k-1 \end{pmatrix} = (1-1)^{2n} = 0 \end{eqnarray*}$

26.10.2017, 22:56

sibelius84

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Nein, das meine ich nicht. Höchstens das rechte Gleichheitszeichen, aber sicher nicht das linke. Würde wohl auch nicht ganz dem Binomialsatz entsprechen...

26.10.2017, 22:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von sibelius84
(1+1)^(2n) und (1-1)^(2n) mit dem Binomialsatz ausrechnen und mit etwas Geschick subtrahieren

Ich würde sagen "addieren" statt "subtrahieren", aber ansonsten volle Zustimmung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

@megachiller

Einfach mal buchstabengetreu befolgen statt was anderes reininterpretieren.

26.10.2017, 23:08

megachiller

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Zitat:

Original von sibelius84
im Prinzip tatsächlich nur (1+1)^(2n) und (1-1)^(2n) mit dem Binomialsatz ausrechnen und mit etwas Geschick subtrahieren / weiter umformen.
Gruß
sibelius84

tut mir echt leid dass ich so dumm bin, aber ich versteh nicht genau wie du das meinst "mit dem binominalsatz ausrechen"

26.10.2017, 23:10

sibelius84

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halt (a+b)^(2n), wobei die Variablen a, b mit +1 bzw. -1 belegt sind.

26.10.2017, 23:13

megachiller

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also den binominalsatz rückwärts was

26.10.2017, 23:25

sibelius84

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Kannst du so interpretieren, ja. Ich würde eher sagen, man stellt vorwärts Gleichungen auf und arbeitet dann mit denen. Ist aber so ein wenig Ansichtssache. Wenn du es als fließende Rechnung von der linken zur rechten Seite haben willst, dann wohl 'rückwärts', ja.

26.10.2017, 23:28

megachiller

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okay danke für deine Geduld smile

smile

Ich koch schnell was dann versuch ichs mal

27.10.2017, 16:34

megachiller

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Ich blick gar nicht mehr durch. Wenn ich das mache was du sagst komm ich auf $\begin{eqnarray*} (1+1)^{2n} + (1-1)^{2n} = \sum\limits_{k=1}^{2n} \begin{pmatrix} 2n \\ k \end{pmatrix} - \sum\limits_{k=1}^{2n} \begin{pmatrix} 2n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Ich habe das Gefühl ich hab den Binominalsatz überhaupt nicht verstanden

27.10.2017, 17:44

Mathema

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Das stimmt nicht. Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} (1+1)^{2n} + (1-1)^{2n} = \sum\limits_{k=0}^{2n} \begin{pmatrix} 2n \\ k \end{pmatrix} + \sum\limits_{k=0}^{2n} \begin{pmatrix} 2n \\ k \end{pmatrix}(-1)^k \end{eqnarray*}$

Teile deine Summen nun in gerade $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und ungerade $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ auf. Für die erste Summe als Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{2n}\binom{2n}{k}=\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{2n}{2k}+\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{2n}{2k-1} \end{eqnarray*}$

27.10.2017, 17:49

HAL 9000

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Man kann auch beide Summen zu einer Summe

$\begin{align*} (1+1)^{2n} + (1-1)^{2n} = \sum_{k=0}^{2n} \left( 1 + (-1)^k\right) \binom{2n}{k} \end{align*}$

vereinigen und sich überlegen, was für gerade/ungerade Indizes $\begin{align*} k \end{align*}$ da mit dem Term $\begin{align*} \left( 1 + (-1)^k\right) \end{align*}$ passiert.

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