Baryzentrische Koordinaten der Ankreismittelpunkte

27.10.2017, 15:34	Lady1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Baryzentrische Koordinaten der Ankreismittelpunkte Meine Frage: Hallo Ich soll die Baryzentrischen Koordinaten der Ankreismittelpunkte des Dreiecks A=(2,2) B=(10,5) C=(4,9) berechnen. Ich weiß, dass man Baryzentrische Koordinaten schreiben kann als [aha,bhb,chc] wobei diese Koordinaten in Summe 1 ergeben müssen, ha der Abstand von a zum zu beschreibenden Punkt ist usw. und a die Länge der Strecke zwischen B und C ist usw. Laut Wikipedia (https://de.wikipedia.org/wiki/Ankreis) sind die Baryzentrischen Koordinaten die Verhältnisse der Seitenlängen. Darauf komme ich in meinen Berechnungen aber nie. Meine Ideen:* Ich habe mir die Seitenlängen a= $\begin{eqnarray} \sqrt{52} \end{eqnarray}$ , b= $\begin{eqnarray} \sqrt{53} \end{eqnarray}$ und c= $\begin{eqnarray} \sqrt{73} \end{eqnarray}$ sowie die Fläche des Dreiecks berechnet (=25 FE). Der Radius des Ankreises der Seite a ist $\begin{eqnarray} \frac{2A}{b+c-a} \end{eqnarray}$ , analog für die anderen beiden Seiten. Dieser Radius ist aber genau der Abstand des Mittelpunktes von den Seiten bzw. der verlängerten Seiten des Dreiecks, damit genau die Höhen ha, hb, hc, die ich für die Berechnung meine Baryzentrischen Koordinaten brauche. Wenn ich beispielsweise die Baryzentrischen Koordinaten des Ankreismittelpunktes Ia (berührt die Seite a) berechnen möchte, müssten die laut meinen Überlegungen und unter Berücksichtigung der Orientierung lauten: [ $\begin{eqnarray} \sqrt{\frac{50}{\sqrt{53}+\sqrt{73}-\sqrt{52}}} \cdot \sqrt{52},\sqrt{\frac{50}{\sqrt{53}+\sqrt{73}-\sqrt{52}}} \cdot \sqrt{53}, - \sqrt{\frac{50}{\sqrt{53}+\sqrt{73}-\sqrt{52}}} \cdot \sqrt{73} \end{eqnarray}$ ]. Das ergibt aber 0 Sinn. Erstens sind das keine Verhältnisse wie in Wikipedia und zweitens ergeben sie in Summe nicht 1. Kann mir bitte jemand helfen? Danke!
27.10.2017, 15:39	Lady1234	Auf diesen Beitrag antworten »
EDIT: oh, die Koordinaten sollten natürlich: $\begin{eqnarray} {\frac{50}{\sqrt{53}+\sqrt{73}-\sqrt{52}}} \cdot \sqrt{52},{\frac{50}{\sqrt{53}+\sqrt{73}-\sqrt{52}}} \cdot \sqrt{53}, - {\frac{50}{\sqrt{53}+\sqrt{73}-\sqrt{52}}} \cdot \sqrt{73} \end{eqnarray}$ lauten.
27.10.2017, 21:14	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Bezeichnungen sind verwirrend. Üblicherweise bezeichnet man mit $\begin{align} h_a, h_b, h_c \end{align}$ die Längen der Höhen des Dreiecks. Und so will ich das auch handhaben. Ich würde dann etwa $\begin{align} d_a, d_b, d_c \end{align}$ als Bezeichnungen für die orientierten Abstände des Punktes $\begin{align} P \end{align}$ zu den Dreiecksseiten wählen. $\begin{align} P \end{align}$ hat dann die homogenen baryzentrischen Koordinaten (ich bezeichne sie mit einem Doppelpunkt als Trennzeichen) $\begin{align} P = \left( a d_a : b d_b : c d_c \right) \end{align}$ Homogene Koordinaten sind nicht eindeutig bestimmt. Man darf sie mit einem beliebigen Faktor $\begin{align} \lambda \neq 0 \end{align}$ durchmultiplizieren). Die absoluten Koordinaten (ich verwende das Komma als Trennzeichen) bekommst du, wenn du bei den homogenen Koordinaten durch die Koordinatensumme dividierst (der freie Faktor $\begin{align} \lambda \end{align}$ kürzt sich dabei weg), also $\begin{align} P = \left( \frac{a d_a}{a d_a + b d_b + c d_c} \, , \, \frac{b d_b}{a d_a + b d_b + c d_c} \, , \, \frac{c d_c}{a d_a + b d_b + c d_c} \right) \end{align}$ Und bei den absoluten Koordinaten ist die Koordinatensumme dann tatsächlich 1, wie ja unmittelbar zu sehen. Man überlegt sich an einer Zeichnung leicht, daß der Nenner $\begin{align} a d_a + b d_b + c d_c \end{align}$ gerade der doppelte Flächeninhalt $\begin{align} 2f \end{align}$ des Dreiecks ist. Man kann daher für die absoluten Koordinaten auch $\begin{align} P = \left( \frac{a d_a}{2f} \, , \, \frac{b d_b}{2f} \, , \, \frac{c d_c}{2f} \right) \end{align}$ schreiben. Und weil nun $\begin{align} 2f = a h_a = b h_b = c h_c \end{align}$ ist (zur Erinnerung: $\begin{align} h_a \end{align}$ usw. sind bei mir die Höhen), gilt weiter $\begin{align} P = \left( \frac{d_a}{h_a} \, , \, \frac{d_b}{h_b} \, , \frac{d_c}{h_c} \right) \end{align}$ Jetzt zu den In- und Ankreismittelpunkten. Für die gibt es feste Formeln, die auch sehr leicht herzuleiten sind (andere markante Punkte machen da viel mehr Mühe). Der Inkreismittelpunkt $\begin{align} I \end{align}$ und die Ankreismittelpunkte $\begin{align} I_a, I_b, I_c \end{align}$ der Seiten $\begin{align} a,b,c \end{align}$ des Dreiecks haben die homogenen baryzentrischen Koordinaten $\begin{align} I = (a:b:c) \, , \ \ I_a = (-a:b:c) \, , \ \ I_b = (a:-b:c) \, , \ \ I_c = (a:b:-c) \end{align}$ In absoluten Koordinaten, etwa für $\begin{align} I_b \end{align}$ : $\begin{align} I_b = \left( \frac{a}{a-b+c} , - \frac{b}{a-b+c} , \frac{c}{a-b+c} \right) \end{align}$ Bis auf einen Vorzeichenfehler bei der ersten Koordinate stimmen deine Koordinaten für $\begin{align} I_a \end{align}$ . Bei den homogenen Koordinaten kannst du gemeinsame Faktoren einfach weglassen. Das wäre bei dir die 50 und das ganze Zeug im Nenner, also $\begin{align} I_a = \left( - \sqrt{52} \, : \, \sqrt{53} \, : \, \sqrt{73} \right) \end{align}$ Und in absoluten Koordinaten $\begin{align} I_a = \left( - \frac{\sqrt{52}}{- \sqrt{52} + \sqrt{53} + \sqrt{73}} \, , \, \frac{\sqrt{53}}{- \sqrt{52} + \sqrt{53} + \sqrt{73}} \, , \, \frac{\sqrt{73}}{- \sqrt{52} + \sqrt{53} + \sqrt{73}} \right) \end{align}$
29.10.2017, 12:04	Lady1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh viiiiielen Dank! Endlich hab ich das verstanden in der Zwischenzeit hab ich mich auch noch einmal mit der Orientierung auseinandergesetzt und den Vorzeichenfehler gefunden Liebe Grüße!

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