Kurvenintegral 1.&2. Art (Zusammenhang)

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MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvenintegral 1.&2. Art (Zusammenhang)
Hey Leute,

Angenommen wir haben ein Gradientenfeld und interessieren uns für das Kurvenintegral entlang des Weges . Das ist ein Kurvenintegral 2. Art und ergibt den Wert .

Wenn ich jetzt aber das zugehörige Potential berechnen und die Arbeit entlang des Weges mit dem Kurvenintegral 1. Art berechnen möchte, ergibt sich das Ergebnis .

Meine Frage: Warum kommen da unterschiedliche Ergebnisse raus?
005 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvenintegral 1.&2. Art (Zusammenhang)
Wenn , dann ist , wenn der Anfangs- und der Endpunkt von ist. Das ist der Zusammenhang, nicht das, was Du da denkst.

Ein Zusammenhang zwischen den Kurvenintegralen besteht, aber der geht anders: , wenn die Tangentialkomponente von ist.
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Super vielen Dank! Das heißt ich habe wirklich ein Verständnisproblem.

Beide Kurvenintegrale berechnen doch die verrichtete Arbeit entlang des Pfades . Das 1. Art in einem Skalarfeld oder und das 2. Art in einem Vektorfeld. Ich kann es anschaulich nicht verstehen, wieso die verrichtete Arbeit im 1. Fall eine andere ist, als wenn man im 2. Fall den selben Weg durch das selbe Gebirge wählt, nur diesmal durch das zugehörige Gradientenfeld.

Kannst du den Zusammenhang kurz an einem anschaulichen Beispiel erklären?

Das wäre alles, was ich noch für mich zu diesem Thema wissen muss, um weiter zu gehen! smile
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MasterWizz
Beide Kurvenintegrale berechnen doch die verrichtete Arbeit entlang des Pfades .

Nein, das tun sie nicht.



ergibt die verrichtete Arbeit über den Weg C, wenn man mal davon absieht, dass in der Physik da noch ein Minuszeichen hinzugefügt wird. ist ein Potential des Feldes , falls dieses ein Potential besitzt. Das Potential ist dann nur bis auf eine additive Konstante bestimmt. Wie du nun auf die Idee kommst, dass ein Potential, wenn man es wieder über C integriert, auch die verrichtete Arbeit ergibt, ist mir unerklärlich. Formal ist das schon mal Unsinn, weil das Potential ja nicht eindeutig definiert ist. Legt man den Nullpunkt des Potentials in den Anfangspunkt des Weges C, bleibt das noch immer Unfug. Es entspricht dann der Behauptung, dass gelten müsse:



Weshalb sollte das gelten? Salopp ausgedrückt, entspricht es der Behauptung, wenn man ein Vektorfeld über einen Weg integriert mit einem Ergebnis E und man dieses Ergebnis noch mal über den Weg integriert, noch immer E herauskommt. Absurd!!!
005 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MasterWizz
Beide Kurvenintegrale berechnen doch die verrichtete Arbeit entlang des Pfades .


Nein, nur das Kurvenintegral zweiter Art kann man als verrichtete Arbeit in einem Kraftfeld interpretieren. Ein Standardbeispiel fuer das Kurvenintegral erster Art ist ein mit Masse der linearen Dichte belegter Draht in Form der Kurve . Seine Gesamtmasse ist dann .

Zitat:
Kannst du den Zusammenhang kurz an einem anschaulichen Beispiel erklären?


Da die eigentlich fuer ganz unterschiedliche Sachen benutzt werden, ist dieser Zusammenhang eher formal. Setze , wenn eine Parametrisierung von ist. Dann ist und Du kannst es nachrechnen.
005 Auf diesen Beitrag antworten »

Oder vielleicht doch ein Beispiel. Es heisst ja: Arbeit = Kraft in Wegrichtung * Weg. Du kannst die Kraft in Wegrichtung selber ausrechnen und dann darueber integrieren, , oder die Sache vom Skalarprodukt erledigen lassen und dann rechnen. Kommt in beiden Faellen das Gleiche raus.
 
 
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Danke 005! Du hast es wunderbar anschaulich erklärt, jetzt habe ich es verstanden!

Mein Problem war einfach nur die Bezeichnung. Manchmal wird mit das Potential bezeichnet, manchmal aber auch der Integrant des Kurvenintegrals 1. Art. Daher das Missverständnis!

@Huggy: Du warst keine Hilfe, sondern eher beleidigend. Nur weil das hier ein Forum ist und wir uns nicht persönlich gegenüber stehen, musst du nicht deine guten Manieren vergessen. Natürlich war es absurd. Deshalb hat es mich auch gewundert und ich hab euch die Frage gestellt. Einfach unnötig von dir...
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