Schwartzraum

27.10.2017, 18:36

Sito

Schwartzraum

Guten Abend zusammen.

Ich soll für diverse Funktionen bestimmen ob sie im Schwartzraum liegen oder nicht. Wir haben den Schwartzraum definiert als $\begin{align*} \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)=\{\varphi\in C^{\infty}(\mathbb{R}^n)| \|\varphi\|_{\alpha,\beta}< \infty \hspace{0.3cm} \forall \alpha,\beta\in \mathbb{N}^n\} \end{align*}$ mit $\begin{align*} \|\varphi\|_{\alpha,\beta}=\sup_{x \in \mathbb{R}^n}|x^{\alpha}\partial^{\beta}\varphi(x)| \end{align*}$ in der Multiindex Notation.

Wie geht man nun am geschicktesten vor wenn man zeigen will, dass eine Funktion im Schwartzraum ist? Ich habe mich mal daran versucht zu zeigen, dass $\begin{align*} f(x)=\exp(-\|x\|) \end{align*}$ kein Element des Raums ist (über die Definition), scheitere aber direkt daran...

Es wäre schön wenn hier jemand etwas nachhelfen könnte.

Gruss Sito

27.10.2017, 20:28

sibelius84

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Hallo Sito,

es ist sehr gut, dass du die genaue Definition hingeschrieben hast, ermöglicht sie doch folgenden Versuch einer Antwort:
Eintrittskarten zum Schwartz-Raum sind ja verdammt teuer. Für alle alpha, beta aus N^n soll "die beta-te Ableitung von phi", multipliziert mit irgendeinem Monom = Produkt von x-Potenzen, beschränkt sein.

(Welche Funktion kann denn dergestalt alles runterziehen? Mir fiele da als Prototyp höchstens e^(-x^2) ein, ok, ja, jede Ableitung davon ist ein Produkt von x-Potenzen mit sich selber und klatscht man da noch weitere x-Potenzen dran, dann tut das auch nichts, es ist immer beidseitiger Grenzwert im Unendlichen = 0 und das Ding stetig auf ganz |R, mithin beschränkt. Damit sind natürlich auch alle Ableitungen mit dabei.)

Das heißt, sobald du eine Ableitung findest und die mit irgendwelchen x-Potenzen multipliziert nicht beschränkt ist, hast du gewonnen.

Müsste nun nicht sogar die "nullte Ableitung", multipliziert mit x^0 reichen?

Grüße
sibelius84

edit: ach nee, sorry, Normstriche nicht auf dem Schirm gehabt... aber gibt es denn überhaupt eine Norm, die in 0 differenzierbar ist?

28.10.2017, 11:35

Sito

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Zuerst mal vielen Dank für die Antwort!

Das heisst ich muss zeigen, dass die $\begin{align*} \beta \end{align*}$ -te Ableitung der Funktion mit irgendwelchen Potenzen multipliziert nicht beschränkt ist. Das hört sich in der Theorie zwar verständlich an, aber ich weiss nicht so rech wie ich das in der Praxis umsetzten soll.

$\begin{align*} \|\exp(-\|x\|)\|_{\alpha,\beta}=\sup_{x\in\mathbb{R}^n}|x^{\alpha}\partial^{\beta}\exp(-\|x\|)|=\sup|x^{\alpha}\frac{\partial^{\beta_1}}{\partial x_1^{\beta_1}}\dots\frac{\partial^{\beta_n}}{\partial x_n^{\beta_n}}\exp(-\|x\|)| \end{align*}$

Und wie genau erkenne ich jetzt, dass dies unbeschränkt ist?

28.10.2017, 20:42

sibelius84

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RE: Schwartzraum

Zitat:

Original von Sito
Wir haben den Schwartzraum definiert als $\begin{align*} \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)=\{\varphi\in C^{\infty}(\mathbb{R}^n)| \|\varphi\|_{\alpha,\beta}< \infty \hspace{0.3cm} \forall \alpha,\beta\in \mathbb{N}^n\} \end{align*}$ mit $\begin{align*} \|\varphi\|_{\alpha,\beta}=\sup_{x \in \mathbb{R}^n}|x^{\alpha}\partial^{\beta}\varphi(x)| \end{align*}$ in der Multiindex Notation.

Gilt denn für $\begin{eqnarray*} x \mapsto \varphi(x) := -\exp(\lVert x \rVert) \end{eqnarray*}$ überhaupt $\begin{eqnarray*} \varphi\in C^{\infty} \end{eqnarray*}$ ? Für n=1 zumindest schon mal nicht, weil da jede Norm ein positives skalares Vielfaches des gewöhnlichen Betrags ist, oder?

Ich hatte mich übrigens oben ein wenig vertan: Man muss darauf achten, dass das n bei R^n das selbe ist wie bei N_0^n (steht auf wikipedia auch so). Das heißt, es sind nicht beliebige Ableitungen und beliebige Mischungen von Potenzen, sondern immer eine (reine oder gemischte) n-te Ableitung und n Faktoren aus x_1, ..., x_n.

Andere Definitionen des Schwartzraums (etwa Dirk Werner, Funktionalanalysis) verwenden gar keine Ableitungen. Ich weiß nicht, ob die äquivalent sind. Es könnte schon sein, denn wenn eine Funktion "schnell gegen Null geht", müsste es auch ihre Ableitung tun, oder? Bin aber nicht ganz sicher.

28.10.2017, 20:50

IfindU

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RE: Schwartzraum

Zitat:

Original von sibelius84
Gilt denn für $\begin{eqnarray*} x \mapsto \varphi(x) := -\exp(\lVert x \rVert) \end{eqnarray*}$ überhaupt $\begin{eqnarray*} \varphi\in C^{\infty} \end{eqnarray*}$ ? Für n=1 zumindest schon mal nicht, weil da jede Norm ein positives skalares Vielfaches des gewöhnlichen Betrags ist, oder?

Gilt natuerlich in allen Dimensionen. Betrachtet man partielle Ableitungen in der 0, bekommt man genau das gleiche Problem.

Zitat:

Ich hatte mich übrigens oben ein wenig vertan: Man muss darauf achten, dass das n bei R^n das selbe ist wie bei N_0^n (steht auf wikipedia auch so). Das heißt, es sind nicht beliebige Ableitungen und beliebige Mischungen von Potenzen, sondern immer eine (reine oder gemischte) n-te Ableitung und n Faktoren aus x_1, ..., x_n.

Das hast du missverstanden.Das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass die Polynome aus n Variablen bestehen und die Ableitungen aus n verschiedenen Richtungen. Denk dir $\begin{eqnarray*} n = 1 \end{eqnarray*}$ . Dann sind $\begin{eqnarray*} \alpha, \beta \end{eqnarray*}$ Skalare, die beliebige natuerliche Zahlen sind.

Zitat:

Andere Definitionen des Schwartzraums (etwa Dirk Werner, Funktionalanalysis) verwenden gar keine Ableitungen. Ich weiß nicht, ob die äquivalent sind. Es könnte schon sein, denn wenn eine Funktion "schnell gegen Null geht", müsste es auch ihre Ableitung tun, oder? Bin aber nicht ganz sicher.

Das sicherlich nicht. Und ich lege meine Hand ins Feuer, dass er das nicht so definiert. Bsp waere so etwas wie $\begin{eqnarray*} f(x) = \sin(\exp(x^2)) \exp(-x^2) \end{eqnarray*}$ . Funktion geht schnell gegen 0 im unendlich, bei der Ableitung sieht aber schon deutlich anders aus.

29.10.2017, 19:26

sibelius84

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Nettes Beispiel! Du hast völlig Recht, ich hatte gestern einfach ein D^beta im Werner überlesen.

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