Kubische Spline Interpolation - Matrix und Bestimmung der c's

27.10.2017, 19:47

Der_Apfel

Kubische Spline Interpolation - Matrix und Bestimmung der c's

Ich habe folgende Fragen zur kubischen Spline Interpolation:

1. Man erhält ein lineares Gleichungssystem der Form $\begin{eqnarray*} A \cdot c = r \end{eqnarray*}$ , wobei Beispielhaft für 5 Datenpaare $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ :

Mit $\begin{eqnarray*} h_i = (x_{i+1} - x_i) \end{eqnarray*}$ (es gibt also eine Anzahl von $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2(h_0 + h_1) & h_1 & 0 & 0 \\ h_1 & 2(h_1 + h_2) & h_2 & 0 \\ 0 & h_2 & 2(h_2 + h_3) & h_3 \\ 0 & 0 & h_3 & 2(h_3 + h_4) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich erhalte eine 4x4 Matrix (also $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ ).

$\begin{eqnarray*} r = \begin{pmatrix}3\frac{y_2-y_1}{h_1} - 3\frac{y_1-y_0}{h_0}\\3\frac{y_3-y_2}{h_2} - 3\frac{y_2-y_1}{h_1}\\3\frac{y_4-y_3}{h_3} - 3\frac{y_3-y_2}{h_2}\\3\frac{y_5-y_4}{h_4} - 3\frac{y_4-y_3}{h_3}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann löse ich nach $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ hat also auch $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ Einträge. Ich benötige also auch $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ mal $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ Parameter.

Ich hab von der Vorlesung die Formel:

$\begin{eqnarray*} d_i = \frac{c_{i+1} - c_i}{3h_i} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} i = (0,...,n-1) \end{eqnarray*}$

Wie soll ich hier $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ Parameter berechnen, wenn ich nur $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ Parameter habe (ich haber $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ benötige [wegen $\begin{eqnarray*} i+1 \end{eqnarray*}$ ])?

Das selbe für die $\begin{eqnarray*} b's \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} b_i = \frac{y_{i+1} - y_i}{h_i} - \frac{h_i}{3}(c_{i+1} + 2c_i) \end{eqnarray*}$

Ich bin verwirrt...

27.10.2017, 20:01

Der_Apfel

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Beispielhaft für die Datenpunkte $\begin{eqnarray*} (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5) \end{eqnarray*}$ erhalte ich die Matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ enthält nur $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , bei den $\begin{eqnarray*} b's \end{eqnarray*}$ kann ich nur $\begin{eqnarray*} b_1,b_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_3 \end{eqnarray*}$ berechnen, da ich nur vier $\begin{eqnarray*} c's \end{eqnarray*}$ habe, ich aber 5 bräuchte. Hier mal ein kurzer Code-Ausschnitt:

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7:	c= A\r'; for i = 1:(n-2) t1 = (y(i+1) - y(i)) / h(i); t2 = h(i) / 3; t3 = c(i+1) + 2c(i); b(i) = t1 - t2t3; end

(Index startet bei 1).

27.10.2017, 20:08

sibelius84

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Hallo der_apfel,

für mich sind da noch ein paar Fragezeichen über dem ganzen Zusammenhang. Mal vom Anfang aufgerollt, bilden ja die kubischen Splines zu den Stützstellen (x0, ..., xn) einen endlichdimensionalen reellen Vektorraum. Anstatt nun für jedes Intervall plump mit dem schulmäßigen Ansatz "ax³+bx²+cx+d" zu beginnen und heilloses, ineffizientes Wirrwarr zu bekommen, wählt man sich in diesem Vektorraum die Basis etwas geschickter.
Wie konkret habt ihr die Basis gewählt? Macht ihr das ganze basierend auf der Hermite-Interpolation? Oder benutzt ihr Bernsteinpolynome / Bezier-Darstellung eines Polynoms?

LG
sibelius84

27.10.2017, 20:33

Der_Apfel

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Zitat:

Original von sibelius84
Wie konkret habt ihr die Basis gewählt?

Tja, gute Frage verwirrt

Ich erhalte das Gleichungssystem:

$\begin{eqnarray*} y_i + b_ih_i + c_ih_i^2 + d_ih_i^3 = y_{i+1} (i=0,... ,n-1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_i + 2c_ih_i + 3d_ih_i^2 = b_{i+1} (i=0,... ,n-2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2c_i + 6d_ih_i = 2c_{i+1} (i=0,... ,n-2) \end{eqnarray*}$

und füge nun einen zusätzlichen Parameter $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ein (für die 3. Gleichung, also die Krümmung), also so stelle ich mir das vor:

$\begin{eqnarray*} 2c_{i+1} + 6d_{i+1}h_{i+1} = 2c_{i+2} \end{eqnarray*}$ damit man $\begin{eqnarray*} b_{i+1} \end{eqnarray*}$ bestimmen kann? Ganz hab ich das auch nicht verstanden unglücklich

27.10.2017, 20:39

sibelius84

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Zitat:

Original von Der_Apfel

Zitat:

Original von sibelius84
Wie konkret habt ihr die Basis gewählt?

Tja, gute Frage verwirrt

Dann schau mal in deine Vorlesungsmitschrift oder ins Skript. Sonst ist das für mich zu wenig Info, um deine Anfrage prozessieren zu können.

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