Wahrscheinlichkeit: Herzass oder Herzkönig

28.10.2017, 10:47

sophox

Wahrscheinlichkeit: Herzass oder Herzkönig

Meine Frage:
Es wird ein Stapel Spielkarten mit 52 Karten gemischt. Es werden solange eine nach der anderen Karten aufgedeckt bis das erste Ass erscheint. Nach dem Erscheinen des ersten Ass wird noch eine Karte aufgedeckt. Ist die Wahrscheinlichkeit dass diese Karte der Herz König ist größer als dass die Karte das Herz Ass ist?

Meine Ideen:
Wird ein Ass als erste Karte gezogen, ist die W'keit, einen Herzkönig / Herzass zu ziehen gleich groß:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{52} \end{eqnarray*}$ .

Die W'keit, ein Ass als n'te Karte zu ziehen ist
$\begin{eqnarray*} \frac{\binom{52-n}{3}}{52!} \end{eqnarray*}$ .
Dabei ist die W'keit als nächste Karte das Herzass zu ziehen
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{52-n} \end{eqnarray*}$ .
Doch die Wahrscheinlichkeit einen Herzkönig zu ziehen, nimmt zunehmend ab, weil er auch vor dem ersten Ass gezogen werden kann?

Dies alles gilt nur, solang als erstes Ass nicht das Herzass gezogen wird.

Stimmt diese Argumentation? Und wenn ja, wie kann ich es "schön" mathematisch formulieren?

28.10.2017, 14:12

HAL 9000

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Zitat:

Original von sophox
Wird ein Ass als erste Karte gezogen, ist die W'keit, einen Herzkönig / Herzass zu ziehen gleich groß:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{52} \end{eqnarray*}$ .

Bei letzterem meinst du als zweite gezogene Karte? Nein, das ist falsch. Betrachten wir folgende Ereignisse:

$\begin{align*} A \end{align*}$ ... erste gezogene Karte ist ein As

$\begin{align*} B \end{align*}$ ... zweite gezogene Karte ist Herz-As

$\begin{align*} C \end{align*}$ ... zweite gezogene Karte ist Herz-König

Dann sind $\begin{align*} P(A)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13} \end{align*}$ , $\begin{align*} P(A\cap B) = \frac{3}{52}\cdot \frac{1}{51} = \frac{1}{884} \end{align*}$ sowie $\begin{align*} P(A\cap C) = \frac{4}{52}\cdot \frac{1}{51} = \frac{1}{663} \end{align*}$ , mithin also

$\begin{align*} P(B \mid A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)} = \frac{1}{68} \end{align*}$

$\begin{align*} P(C \mid A) = \frac{P(A\cap C)}{P(A)} = \frac{1}{51} \end{align*}$ .

Die bedingte Wahrscheinlichkeit, als zweite Karte den Herz-König zu ziehen ist also höher als die das Herz-As zu ziehen, unter der Bedingung, dass als erste Karte ein As gezogen wurde.

28.10.2017, 14:45

sophox

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Okay, ja das ist jetzt klar. Wie kann ich das aber auf allgemeine Positionen verallgemeinern? Wie berücksichte ich die Möglichkeiten, dass der Herzkönig bereits vor dem ersten Ass gezogen wird? Dann wäre meine Wahrscheinlichkeit ihn als nächstes zu ziehen Null...

28.10.2017, 15:03

HAL 9000

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Man könnte allgemein so vorgehen:

$\begin{align*} A_k \end{align*}$ ... erstes gezogenes As ist an Position $\begin{align*} k \end{align*}$
$\begin{align*} B \end{align*}$ ... Karte nach erstem gezogenen As ist das Herz-As
$\begin{align*} C \end{align*}$ ... Karte nach erstem gezogenen As ist der Herz-König

Dann ist

$\begin{align*} P(A_k\cap B) = \frac{48!}{(48-(k-1))!}\cdot 3\cdot 1\cdot (51-k)!\cdot \frac{1}{52!} = \frac{3(51-k)(50-k)}{52\cdot 51\cdot 50\cdot 49} \end{align*}$

$\begin{align*} P(A_k\cap C) = \frac{47!}{(47-(k-1))!}\cdot 4\cdot 1\cdot (51-k)!\cdot \frac{1}{52!} = \frac{4(51-k)(50-k)(49-k)}{52\cdot 51\cdot 50\cdot 49\cdot 48} \end{align*}$

Die eigentlichen Wahrscheinlichkeiten $\begin{align*} P(B),P(C) \end{align*}$ bestimmt man nun durch Summation über alle Fälle, d.h., $\begin{align*} P(B) = \sum_{k=1}^{49} P(A_k\cap B) \end{align*}$ sowie $\begin{align*} P(C) = \sum_{k=1}^{49} P(A_k\cap C) \end{align*}$ . Mit einem überraschenden (oder auch nicht) Resultat. Augenzwinkern

28.10.2017, 15:22

sophox

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Tut mir leid, aber ich stehe momentan ziemlich auf dem Schlauch und verstehe gar nicht wie diese Formeln zustande kommen...

28.10.2017, 15:38

HAL 9000

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Wir zählen die "günstigen" der insgesamt $\begin{align*} 52! \end{align*}$ Kartenanordnungsmöglichkeiten.

1) Bei $\begin{align*} A_k\cap B \end{align*}$ sind das:

- Die ersten $\begin{align*} (k-1) \end{align*}$ Karten stammen aus den 48 Nicht-As-Karten, unter Berücksichtigung der Anordnungen ist das die Variationenanzahl $\begin{align*} \frac{48!}{(48-(k-1))!} \end{align*}$ .
- Die $\begin{align*} k \end{align*}$ -te Karte ist ein As, aber es darf nicht das Herz-As sein, macht 3 Möglichkeiten.
- Die $\begin{align*} (k+1) \end{align*}$ -te Karte muss das Herz-As sein, das ist nur 1 Möglichkeit.
- Die restlichen $\begin{align*} 52-(k+1)= 51-k \end{align*}$ liegen nun fest, es sind aber noch deren Anordnungsmöglichkeiten zu zählen, das macht $\begin{align*} (51-k)! \end{align*}$ .

2) Bei $\begin{align*} A_k\cap C \end{align*}$ sind das:

- Die ersten $\begin{align*} (k-1) \end{align*}$ Karten stammen aus den 47 Karten, die weder As noch Herz-König sind, unter Berücksichtigung der Anordnungen ist das die Variationenanzahl $\begin{align*} \frac{47!}{(47-(k-1))!} \end{align*}$ .
- Die $\begin{align*} k \end{align*}$ -te Karte ist ein As, macht 4 Möglichkeiten.
- Die $\begin{align*} (k+1) \end{align*}$ -te Karte muss der Herz-König sein, das ist nur 1 Möglichkeit.
- Die restlichen $\begin{align*} 52-(k+1)= 51-k \end{align*}$ liegen nun fest, es sind aber noch deren Anordnungsmöglichkeiten zu zählen, das macht $\begin{align*} (51-k)! \end{align*}$ .

28.10.2017, 16:42

sophox

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Vielen, vielen Dank für die Erklärung!

Ich habe die Summe in Matlab ausgerechnet und komme auf genau dieselbe Wahrscheinlichkeit (1,92%)...ist dies korrekt? : )

28.10.2017, 18:06

HAL 9000

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Ja, beidesmal $\begin{align*} \frac{1}{52} \end{align*}$ . Augenzwinkern

28.10.2017, 18:10

sophox

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Wow danke für die Hilfe! Das Ergebnis hat mich jetzt doch überrascht!
:-D

28.10.2017, 18:16

sophox

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Tut mir leid, wenn ich nochmal frage...aber wie komme ich auf genau 1/52? Ich habe nämlich jetzt nur den bequemen Weg über Matlab genommen. Kann man dies eleganter händisch lösen? :-)

28.10.2017, 18:23

HAL 9000

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Nimm ein CAS - oder beschäftige dich gründlich damit, wie man solche Summen berechnet.

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