Faser der Abbildung

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28.10.2017, 12:15	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
Faser der Abbildung Hallo Leute: Ich habe folgendes Problem: In welchen Punkten $\begin{eqnarray} (y_1;y_2) \in \mathbb R ^2 \end{eqnarray}$ enthält die Faser der Abbildung $\begin{eqnarray} f^{-1}(y) \end{eqnarray}$ der Abbildung $\begin{eqnarray} f: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^2, (x_1,x_2) \rightarrow (y_1,y_2) := (x_1,x_1x_2) \end{eqnarray}$ keinen, genau einen bzw. mehr als einen Punkt $\begin{eqnarray} x=(x_1,x_2) \end{eqnarray}$ Also die Faser der Abbildung wäre ja die Menge $\begin{eqnarray} f^{-1}(y)= x_1,x_2 \in \mathbb R^2 : (x_1,x_1x_2) \in \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ Wie sehe ich das jetzt, z.b für keine Punkt?
28.10.2017, 12:50	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Urbild von (0,3) ?
28.10.2017, 13:09	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Urbild von(0,3) existiert nicht. Ja stimmt. Heißt das für alle Punkte(0,x1x2) gibt es kein Urbild, da die 2. Komponente des Bildes immer ungleich 0 ist.
28.10.2017, 13:12	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das heißt es nicht. (0,0) hat ein nichtleeres Urbild.
28.10.2017, 13:33	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
Für alle Punkte(x1,x1x2) mit x2 =0 und x1 ungleich 0 gibt es kein Urbild.
28.10.2017, 13:38	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist falsch. (1,0) ist ein Urbild von (1,0). Du darfst nicht nur raten, du musst auch überprüfen, was du behauptest.
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28.10.2017, 13:49	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
Für alle (x1,x1x2) für die gilt (0,x1,x2) mit x1*x2 ist ungleich 0. Jetzt müsste es doch passen?
28.10.2017, 14:20	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe nicht, wie jetzt ein Vektor mit 3 Komponenten ins Spiel kommt. Du musst weiter nachdenken, intensiver und vollständiger Voraussetzungen und Folgerungen prüfen. Eigentlich ist das alles ganz einfach, du brauchst nur ein paar vollständige Fallunterscheidungen. Bitte melde dich (erst) wieder, wenn du eine ganz Antwort mit Begründung hast. Millionen einzelne Punkte abhandeln ist langweilig.
28.10.2017, 14:41	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe mich verschrieben. Ich meinte das: Für alle (x1,x1x2) für die gilt (0,x1x2) mit x1*x2 ist ungleich 0. Ich hätte gedacht, alle Bildpunkte, deren 1. Komponente 0 ist und die 2. Komponente ungleich 0 haben kein Urbild.
28.10.2017, 18:12	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
So kann man das aber auch nicht schreiben. Dass kein Punkt $\begin{eqnarray} (0,b) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} b \ne 0 \end{eqnarray}$ ein Urbild hat, wissen wir schon länger. Darauf habe ich bereits in meiner ersten Antwort hingewiesen. Man kann aber nicht von Punkten $\begin{eqnarray} (x1,x1x2)=(0,b) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} b \ne 0 \end{eqnarray}$ sprechen, da mit $\begin{eqnarray} x1 \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} b=x1x2 \end{eqnarray}$ immer $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ ist. Irgendwann brauchst du eine vollständige Aufstellung aller Möglichkeiten. Wie sieht denn eine Faser aus, wenn $\begin{eqnarray} (a,b) \end{eqnarray}$ ein Paar ist mit $\begin{eqnarray} a\ne 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b\ne 0 \end{eqnarray}$ ?
28.10.2017, 19:43	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich suche das Urbild für das Paar (a,b) mit a und b ungleich 0. Ich verstehe es irgendwie nicht. Wie schreibe ich den Fall kein Punkt rixhtig auf. Ich würde gerne sehen, wie man das macht. Vllt verstehe ich dann mehr.
28.10.2017, 22:10	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt nur vier Möglichkeiten : a gleich oder ungleich 0, b gleich oder ungleich 0. Dazu berechnet man die Faser, und fertig.
28.10.2017, 22:18	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
Gilt das dann für alle Fälle. also keine, einen und mehrere. Was soll das a und b egtl sein. Tut mir leid, dass ich so langsam bin
28.10.2017, 22:33	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man Urbilder (x1,x2) sucht, geht man von einem Bild (a,b)=(x1,x1x2) aus. Je nach Bedingungen für unterschiedliche Bilder erhalten wir unterschiedliche Urbilder.
29.10.2017, 08:12	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
Also dann betrachte ich den Fall a=0: Dann gibt es ein Urbild nämlich (0,0) Fall b=0: Dann ist das Urbild (x1,0) Meinst du das so?
29.10.2017, 08:14	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Hinweis: Weil offenbar x1=a ist, muss man für die 4 Fälle nur alle x2 mit ax2=b suchen. Wort zum Sonntag: "Wer suchet, der wird finden."
29.10.2017, 08:23	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja gut Also 1. Fall: a=0 Dann gibt es als Urbilder (0,x2) 2. Fall a ungleich 0: Dann ist das Urbild (x1,x2) 3. Fall b=0: Urbild: (x1,0) 4. Fall: b ungleich 0: Urbild: (x1,x2)
29.10.2017, 12:06	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Und ich habe gedacht, das sei einfach, ist es aber anscheinend doch nicht. Die 4 zu untersuchenden Fälle sind 1. $\begin{eqnarray} a=0,b=0 \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} a=0, b\ne 0 \end{eqnarray}$ 3. $\begin{eqnarray} a\ne 0, b=0 \end{eqnarray}$ 4. $\begin{eqnarray} a\ne 0, b\ne 0 \end{eqnarray}$ Für alle Untersuchungen sind die definierenden Gleichungen $\begin{eqnarray} a=x_1, b=ax_2 \end{eqnarray}$ zu benutzen und nach $\begin{eqnarray} x_1,x_2 \end{eqnarray}$ aufzulösen, denn man sucht ja alle Urbilder.
29.10.2017, 13:39	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
Also nochmal: 1.) Urbild(0,0) 2.) Das wäre doch das gleiche, nämlich (0,0) 3.) Urbild(a, 0) 4.) Urbild (a, b/a) So dann oder?
29.10.2017, 14:35	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, im Moment habe ich aber keine Lust mehr.
29.10.2017, 15:15	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh man. Was mache ich denn falsch. Ich will dich nicht verärgern. Also gehen wir vom 1. Fall a=0 und b=0 aus. Dann ist doch a=0=x1 und b=0=0*x2 Daraus folgt doch, dass x1 und x2 0 sind?
29.10.2017, 18:03	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Was du falsch machst, weiß ich nicht. Vermutlich hast du bei dem ganzen Gewürge den Überblick verloren. Da helfen auch die besten Ratschläge nichts, deshalb hier die Auflösung. 1. $\begin{eqnarray} a=0,b=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1=a=0, x_1x_2=0=b\Rightarrow x_2 \end{eqnarray}$ beliebig . Faser = $\begin{eqnarray} \{0\}\times \mathbb R \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} a=0, b\ne 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1=a=0\Rightarrow b=x_1x_2=0 \end{eqnarray}$ Widerspruch zu $\begin{eqnarray} b\ne 0 \end{eqnarray}$ . Faser = $\begin{eqnarray} \emptyset \end{eqnarray}$ 3. $\begin{eqnarray} a\ne 0, b=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1=a\ne 0, b=x_1x_2=0\Rightarrow x_2=0 \end{eqnarray}$ . Faser = $\begin{eqnarray} \{(a,0)\} \end{eqnarray}$ 4. $\begin{eqnarray} a\ne 0, b\ne 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1=a, x_1x_2=ax_2=b\Rightarrow x_2=\frac b a \end{eqnarray}$ . Faser = $\begin{eqnarray} \{(a,\frac b a)\} \end{eqnarray}$ A posteriori erkennt man, dass die Fälle 3. und 4. sich zusammmenfassen lassen zu dem Fall 4.
29.10.2017, 18:49	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Mühe . Jetzt verstehe ich es wenigstens. Fall 3 und 4 hatte ich ja noch Bei Fall 1: Wie ist das zu verstehen: Ist das der Fall mit einem Punkt als Urbild?
29.10.2017, 18:51	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, im Fall 1. ist die Faser das cartesische Produkt aus $\begin{eqnarray} \{0\} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ , ist also die Menge $\begin{eqnarray} \{(0,y):y\in \mathbb R\} \end{eqnarray}$ 1. unendlich, 2. leer, 3. und 4. genau ein Punkt
30.10.2017, 07:21	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
Aha. Jetzt habe ich es endlich Vielen Dank für deine Mühe und Hilfe

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