Eigenschaft der reellen Zahlen

Neue Frage »

28.10.2017, 17:31	SamuelMooreWalton	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenschaft der reellen Zahlen Hallo, ich suche einen Lösungsansatz für folgendes Problem: Sei $\begin{eqnarray} x\in(0,1), \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ bel., dann gibt es $\begin{eqnarray} k\in\mathbb N :x^k\leq \varepsilon \end{eqnarray}$ Fall $\begin{eqnarray} \varepsilon\geq1 \end{eqnarray}$ ist trivial, wie komme ich weiter?
28.10.2017, 18:28	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Folge $\begin{eqnarray} (x^k)_{k\in\mathbb N} \end{eqnarray}$ hat einen Grenzwert. Die Behauptung ist genau die $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ -Bedingung für diesen Grenzwert.
28.10.2017, 18:31	SamuelMooreWalton	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank! Ich habe vergessen zu erwähnen, ich habe noch keine Definition einer Folge. Das sollte irgendwie mit Archimedes-Eud. und davon abgeleiteten Eigenschaften gehen.
28.10.2017, 18:33	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist Archimedes-Eud. ?
28.10.2017, 18:39	SamuelMooreWalton	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Mühe. Damit meine ich Archimedes Eudoxus, das ist diese Aussage: https://de.wikipedia.org/wiki/Archimedisches_Axiom
28.10.2017, 18:47	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht so: $\begin{eqnarray} x^{k+1}=x^k\cdot x<x^k \end{eqnarray}$ , weil $\begin{eqnarray} x<1 \end{eqnarray}$ . Für alle $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ gibt es also ein $\begin{eqnarray} k\in\mathbb N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x^k<\frac 1 n<\varepsilon \end{eqnarray}$ . Für den letzten Schritt sind dann Archimedes oder Eudoxos verantwortlich.
Anzeige

28.10.2017, 19:50	SamuelMooreWalton	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x^{k+1}=x^k\cdot x<x^k \end{eqnarray}$ , weil $\begin{eqnarray} x<1 \end{eqnarray}$ sowas würde ich gerne nutzen... Wie kann man zeigen, dass $\begin{eqnarray} 1/x > 1 \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} x\in(0,1) \end{eqnarray}$ Vergiss es, das war dumm!!! Das ist natürlich gegeben, da gilt $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x^{-1} \end{eqnarray}$ haben das selbe Vorzeichen, also aus $\begin{eqnarray} x>1 \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} xx^{-1}>1x^{-1} \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} 1>x^{-1} \end{eqnarray}$
28.10.2017, 20:03	SamuelMooreWalton	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit müsste es gehen. edit: Ja, das Problem der "Reziproken Werte" kann ich mit Bernoulli lösen.
28.10.2017, 20:16	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Achtung. Nur weil $\begin{eqnarray} x^{k+1} < x^k < \ldots < x < 1 \end{eqnarray}$ ist, heisst es nicht, dass $\begin{eqnarray} x^k \end{eqnarray}$ beliebig klein wird. Eine ähnliche Argumentation könnte man mit $\begin{eqnarray} f(x) = \frac 1 {4} ( 1 + \frac 1 x) \end{eqnarray}$ führen. So ist $\begin{eqnarray} f(k+1) < f(k) < f(k-1) < \ldots < f(1) < 1 \end{eqnarray}$ . Aber es gibt nicht für alle $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ s.d. $\begin{eqnarray} f(k) < \frac 1 n \end{eqnarray}$ . Kurz und knapp: Aus streng monoton wachsend folgt nicht Unbeschränktheit. Man muss quantifizieren wie "schnell" die Folge wächst bzw. fällt. Die elementarste Abschätzung hier ist die Bernoulli-Ungleichung.
28.10.2017, 20:32	SamuelMooreWalton	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe $\begin{eqnarray} \bigl(\frac{1}{x}\bigr)^k>\frac{1}{\varepsilon} \end{eqnarray}$ mit Bernoulli-Ungl. bewiesen

Neue Frage »

Antworten »

Eigenschaft der reellen Zahlen

Verwandte Themen