Stetigkeit zeigen

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Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit zeigen
Hallo,

Jetzt habe ich doch noch eine Frage, weil ich unsicher bin, was ich darf und was nicht.

Es soll bewiesen werden, dass stetig ist für

Das möchte ich jetzt abschätzen und das finde ich "komisch".
Dann hab ich also:



Darf ich das?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Jefferson1992,

wenn ich das so ansehe, finde ich es auch irgendwie komisch. Du musst mit den Vorzeichen aufpassen bzw. besser mit dem Betrag arbeiten, für x=-5, y=7 klappt das schon mal nicht.

LG
sibelius84
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Habs gerade auch gemerkt..



Das sollte sicherlich gehen.

und nu? Ich checks nicht.. sorry
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die Funktion stetig in 0 sein soll, dann muss ja für jede Nullfolge (x_n) auch der Wert f(x_n) gegen Null konvergieren. Wenn ich deinen Ansatz nun mit dem Folgenkriterium mal durchspiele, so wähle ich x=1/n^2 und y=1/n. Dann läuft dein Ausdruck auf der rechten Seite gegen -1.

Der Witz liegt darin, dass du oben als Summanden jeweils eine dritte Potenz von x bzw. y hast und unten nur eine zweite, und mithin der Zähler stärker gegen 0 zieht als der Nenner. Das mit dem x ausklammern ist vielleicht gar keine so schlechte Idee! Du müsstest dann eben den Ausdruck



abschätzen. Es würde ja reichen, wenn du zeigen könntest, dass er beschränkt ist. Und ich glaube, das ist er sogar... versuch mal "Polynomdivision" bzw. geeignete Ergänzungen im Zähler, um da vielleicht was abzuspalten und mehr sehen bzw. folgern zu können. Eine weitere, aber wohl recht umständliche Möglichkeit wäre, das obige wieder als Funktion g(x,y) aufzufassen, deren Definitionsbereich, Limiten und Extrema zu betrachten und hieraus geeignete Schlüsse zu ziehen.

LG
sibelius84
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

ist es nicht einfacher hier mit den Polarkoordinaten zu arbeiten?








Also stetig im Nullpunkt?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Müsste auch gehen. Oder halt



wobei der rechte Bruch aus [0,1] ist, also gilt .
 
 
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