Gruppe bilden mit komplexen Zahlen und Multiplikationsgruppe

28.10.2017, 23:44	Stephanie209	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppe bilden mit komplexen Zahlen und Multiplikationsgruppe Meine Frage: Guten Abend zusammen, ich habe eine Aufgabe bezüglich Gruppen zu lösen. Leider verstehe ich die Aufgabe überhaupt nicht! Ich weiß weder wie man eine Gruppe bildet, noch was eine Gruppe ist und schon lange nicht wie das mit komplexen Zahlen funktioniert. Die Aufgabe lautet: Es sei $\begin{eqnarray} M:= \left\{ 1,e^{i\frac{2\pi }{3} } \right\} \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass man ein Element z $\begin{eqnarray} \in \mathbb C \end{eqnarray}$ so bestimmen kann, dass M $\begin{eqnarray} \cup \left\{ z\right\} \end{eqnarray}$ zusammen mit der Multiplikation eine Gruppe bildet! Wie bereits geschildet habe ich keine Ahnung was ich machen soll. Kann mir jemand erklären was von mir gefordert wird. Vielleicht sogar an einem Beispiel? Danke schonmal im vorraus Meine Ideen: Ideen habe ich leider keine!
28.10.2017, 23:53	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Stephanie209, weißt du, wie eine Gruppe definiert ist? Falls nein, schlage es in der Vorlesung, im Skript oder auf wikipedia nach. Da steht dann, was eine Gruppe so alles erfüllen muss. Du könntest dann anfangen zu prüfen, ob {1,z} mit der Multiplikation (!) eine Gruppe ist. Wenn du das sinnvoll angehst, wirst du relativ schnell darauf stoßen, dass das nicht der Fall ist - und damit auch quasi automatisch, welches Element du ergänzen musst. Für das Rechnen mit komplexen Zahlen gilt zum einen e^(z+w) = (e^z)·(e^w) für alle komplexen Zahlen z, w (dies genau wie im Reellen!). Zum anderen gilt - insbesondere für alle reellen $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ - die Euler'sche Gleichung $\begin{eqnarray} e^{i\varphi}=\cos(\varphi)+i\sin(\varphi) \end{eqnarray}$ . Daraus kannst du folgern, dass die komplexe Exponentialfunktion $\begin{eqnarray} 2\pi i \end{eqnarray}$ -periodisch ist. Was ist also $\begin{eqnarray} e^{2\pi i} \end{eqnarray}$ ? Grüße sibelius84 (edit - fehler korrigiert)

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