vollständigkeit bezüglich der eukliedischen Norm

29.10.2017, 10:34	axolotl13	Auf diesen Beitrag antworten »
vollständigkeit bezüglich der eukliedischen Norm Meine Frage: Sei V = C([0; 1];R) der Vektorraum der auf dem Intervall [0; 1] stetigen Funktionen und es sei $\begin{eqnarray} \vert \vert f \vert \vert _{l2}=\sqrt{ \int_{0}^{1} \! f^2(x) \, dx } \end{eqnarray}$ die euklidische L2-Norm auf V. Zeige, V ist nicht vollständig bezüglich der euklidischen L2-Norm. Als Hinweis ist gegeben: betrachten sie die Funktionenfolge $\begin{eqnarray} (f_{n})_{n\geq 1} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x)=0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \in [0,\frac{1}{2} - \frac{1}{n} ] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{2}n(x-\frac{1}{2})+\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \in (\frac{1}{2} - \frac{1}{n} \frac{1}{n}, \frac{1}{2} + \frac{1}{n}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)=1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \in [\frac{1}{2} + \frac{1}{n},1 ] \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Wenn V bezüglich dieser Norm vollständig ist müssen alle Cauchy Folgen konvergieren. da man uns den Tipp mit der gegebenen Funktionenfolge gegeben ht denke ich, dass diese nicht konvergent ist. allerdings weiß ich nicht wie ich das zeigen soll. kann mir da jemand helfen? Danke schonmal im Vorraus
29.10.2017, 10:37	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Könntest du bitte um den Latex Code auch Latex Zeichen setzen? Das vereinfacht es sehr..
29.10.2017, 10:42	axolotl13	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Jefferson1992, das hab ich grade geändert. Ist mir leider erst aufgefallen, als ich es shon veröffntlich hatte. mit freundlichen Grüßen lotl
29.10.2017, 11:34	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst erst einmal nachweisen, dass die gegebene Funktionsfolge wirklich eine Cauchy-Folge ist. Dafür setzt du es einfach in die Definition der Norm ein und rechnest ein wenig. Am besten startest du mit $\begin{eqnarray} \\| f_n - f_m\\|^2_{L^2} \end{eqnarray}$ damit du nicht so oft die Wurzel schreiben musst. Um zu zeigen, dass sie nicht konvergiert, muss man zeigen, dass für kein $\begin{eqnarray} f \in C^0([0,1]) \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty } \\| f_n - f\\|_{L^2} = 0 \end{eqnarray}$ . Die Idee ist, dass $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ punktweise gegen die 0 auf $\begin{eqnarray} [0, \frac 1 2) \end{eqnarray}$ und gegen 1 auf $\begin{eqnarray} (\frac 1 2, 1] \end{eqnarray}$ konvergiert. Das kann eine stetige Funktion nicht, weil der Zwischenwertsatz verletzt wuerde. Wie man es formal zeigt. Der Grenzwert $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ muss links irgendwo kleiner $\begin{eqnarray} 1/4 \end{eqnarray}$ sein und rechts größer als $\begin{eqnarray} 3/4 \end{eqnarray}$ sein. Sonst wird die Norm sicher nicht klein (Abschätzen!). Wenn sie das aber nun erfüllt, muss sie irgendwo $\begin{eqnarray} x_0 \in (0,1) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x_0) = \frac 1 2 \end{eqnarray}$ . D.h. mit Stetigkeit gibts fuer alle $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \delta > 0 \end{eqnarray}$ s.d. ... Dann reicht es $\begin{eqnarray} \int_0^1 \|f(x) - f_n(x) \|^2 d x \geq \int_{x_0 - \delta}^{x_0 + \delta} \|f(x) - f_n(x) \|^2 d x \end{eqnarray}$ . Nun kann man weiterarbeiten.

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