f(0,0) wählen

29.10.2017, 11:15

Jefferson1992

f(0,0) wählen

Hallo Ihr Lieben,

Ich komme irgendwie mit einer Aufgabe überhaupt nicht klar, weil ich nicht verstehe, wie ich da etwas "auswählen" soll.

es geht um folgende Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=x\cos{(\frac{1}{y})} \end{eqnarray*}$

Hier soll ich $\begin{eqnarray*} f(0,0) \end{eqnarray*}$ so wählen, dass die Funktion stetig ist. Wie geht man denn an so eine Aufgabe ran? Doch sicherlich nicht durch probieren..

Danke für den Tip smile

29.10.2017, 11:18

IfindU

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Wenn sie stetig sein soll, so muss $\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to 0} f(x,y) = f(0,0) \end{eqnarray*}$ gelten. D.h. schaue nach ob der Grenzwert links existiert. Wenn ja, setze $\begin{eqnarray*} f(0,0) := \lim_{(x,y) \to 0} f(x,y) \end{eqnarray*}$ und du bist fertig.

29.10.2017, 12:01

Jefferson1992

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Ich habe leider nicht den Plan, wie ich das aufschreibe, aber eine Überlegung.

Der Cosinus schwankt ja zwischen -1 und 1. Wenn ich nun den linksseitigen Grenzwert betrachte, bedeutet x und y gehen gegen 0 von -1 aus, beispielsweise.

Wenn ich also x dann gegen 0 laufen lasse, müsste die ganze Funktion doch gegen 0 gehen oder?

Also könnte ich $\begin{eqnarray*} f(0,0) = 0 \end{eqnarray*}$ wählen?

Lieg ich falsch?

29.10.2017, 12:08

IfindU

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Das ist goldrichtig. Du musst das nur noch in einen allgemeinen Beweis packen:
$\begin{eqnarray*} 0 \leq | f(x,y) - f(0,0) | = | f(x,y) | = ??? \leq ??? \to 0 \quad\square \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Edit: Mit der Voraussetzung $\begin{eqnarray*} y \neq 0 \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ da dort die Funktion offenbar nicht definiert ist.

29.10.2017, 12:19

Jefferson1992

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wuhu. Doch irgendwas gelernt:P

$\begin{eqnarray*} 0 \leq | f(x,y) - f(0,0) | = |f(x,y)| = |x\cos{(\frac{1}{y})}|\leq |x\cos{2\pi}| \end{eqnarray*}$

kann ich da einfach den größmöglichen Wert nehmen den der Cosinus annehmen kann und sagen, dass das definitiv größer gleich ist?

Weil dann hätte ich:

$\begin{eqnarray*} |x\cos{2\pi}| \leq |x| \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$

29.10.2017, 12:28

IfindU

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Ich hätte mir nicht die Mühe gemacht eine Stelle des Cosinus zu suchen, wo er maximal wird. Ich hätte direkt $\begin{eqnarray*} |x \cos (1/y) | = |x| \cdot | \cos (1/y) | \leq |x| \cdot 1 \end{eqnarray*}$ abgeschätzt. Aber das ist natürlich ebenfalls richtig.

Es ist das Einschlusslemma von Analysis (auch Sandwich/Quetschlemma genannt), dass nun garantiert, dass aus $\begin{eqnarray*} 0 \leq a_k \leq b_k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b_k \to 0 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} a_k \to 0 \end{eqnarray*}$ folgt.

29.10.2017, 12:30

Jefferson1992

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Ah super! ja ich erinnere mich dunkel.

Das heißt diese Funktion ist stetig, wenn ich f(0,0) = 0 wähle. Habe ich das richtig verstanden?

Was wäre passiert, wenn da nicht 0 rausgekommen wäre? Wie "wähle" ich denn dann, nach was mache ich das abhängig?

29.10.2017, 12:34

IfindU

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Hast du richtig verstanden.

Und lies noch einmal meinen ersten Post. Du setzt $\begin{eqnarray*} f(0,0) \end{eqnarray*}$ auf den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} x,y \to 0 \end{eqnarray*}$ laufen. Sofern er existiert. Existiert dieser nicht, ist die Funktion auch für keinen Wert $\begin{eqnarray*} f(0,0) \end{eqnarray*}$ stetig in der $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ .

Hier war $\begin{eqnarray*} \lim_{x,y\to0} f(x,y) = 0 \end{eqnarray*}$ , also hast du $\begin{eqnarray*} f(0,0) = 0 \end{eqnarray*}$ gesetzt. Waere $\begin{eqnarray*} \lim_{x,y\to0} f(x,y) = \frac \pi {e^5} \end{eqnarray*}$ rausgekommen, hättest du $\begin{eqnarray*} f(0,0) = \frac \pi {e^5} \end{eqnarray*}$ gesetzt.

29.10.2017, 12:41

Jefferson1992

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ah okay! Man schaut sich also einfach an, was für $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} x,y \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ gilt, passiert.

Haha. Du Witzbold, von welcher Funktion ist das denn nun wieder der Grenzwert? :P

29.10.2017, 12:43

IfindU

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Zitat:

Original von Jefferson1992
Haha. Du Witzbold, von welcher Funktion ist das denn nun wieder der Grenzwert? :P

Von $\begin{eqnarray*} f(x,y) = \frac { \pi } {e^5} + x \cos \frac 1 y \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

29.10.2017, 12:57

Jefferson1992

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okay

Habe noch so eine Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=xy*\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}<br /> \end{eqnarray*}$

Lets do the same:

$\begin{eqnarray*} 0 \leq |f(x,y) - f(0,0)| =|f(x,y)| =| xy*\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}|\leq |x||y|*\frac{|x²-y^2|}{x^2+y^2}\leq |x||y| \end{eqnarray*}$

weil $\begin{eqnarray*} |x-y|\leq x+y \end{eqnarray*}$ "Ana 1 oder so"

und das geht für $\begin{eqnarray*} (x,y) \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ gegen 0

also auch $\begin{eqnarray*} f(0,0) = 0 \end{eqnarray*}$ ?

29.10.2017, 13:04

IfindU

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Statt $\begin{eqnarray*} |x - y| \leq x + y \end{eqnarray*}$ muss es $\begin{eqnarray*} |x - y| \leq |x| + |y| \end{eqnarray*}$ heissen. Nennt sich die Dreiecksungleichung Augenzwinkern

An sich ist die Rechnung richtig. Aber wie folgt die (richtige) Abschätzung $\begin{eqnarray*} \frac { |x^2 - y^2|}{x^2 + y^2}\leq 1 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} |x - y| \leq |x| + |y| \end{eqnarray*}$ ?

29.10.2017, 13:11

Jefferson1992

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Zitat:

Original von IfindU
Statt $\begin{eqnarray*} |x - y| \leq x + y \end{eqnarray*}$ muss es $\begin{eqnarray*} |x - y| \leq |x| + |y| \end{eqnarray*}$ heissen. Nennt sich die Dreiecksungleichung Augenzwinkern

Naja,

$\begin{eqnarray*} 0 \leq |f(x,y) - f(0,0)| =|f(x,y)| =| xy*\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}|\leq |x||y|*\frac{|x²|+|y^2|}{x^2+y^2}\leq |x||y| \end{eqnarray*}$

und da Quadratische funktionen eh immer positiv sind, ist der Bruch $\begin{eqnarray*} \leq 1 \end{eqnarray*}$ oder sehe ich das falsch?

29.10.2017, 13:17

IfindU

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Perfekt. Ich würde nur davor noch erwähnen, dass du $\begin{eqnarray*} (x,y) \neq (0,0) \end{eqnarray*}$ voraussetzt. Das wird implizit durch die Definition $\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} \end{eqnarray*}$ getan (so ists definiert), aber wenn du es so schreibst, solltest du immer hinschreiben, was $\begin{eqnarray*} x.y \end{eqnarray*}$ ueberhaupt sind.

29.10.2017, 13:19

Jefferson1992

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oki doki! Ich danke dir!
War ja jetzt wirklich nicht schwer, aber ich wusste einfach nicht, wie man da dran geht.

Unendlichen Dank smile

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