Doppelintegral berechnen

29.10.2017, 11:59

Merveq

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Doppelintegral berechnen

Meine Frage:
Hallo an alle Mathe-Fans.
Ich wollte fragen ob ich die Aufgaben richtig habe bzw. Richtig verstanden habe.

Meine Ideen:
Zu a) Ich habe hier als Lösung -x^4+x^2-4x+4
Stimmt das ?

Zu b) muss ich das integral mit der Variable x über die Untergrenze 0 und Obergrenze 2 berechnen ?
Und y über 0 bis 1 ?

29.10.2017, 12:00

Merveq

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RE: Doppelintegral berechnen
Die Aufgabe

29.10.2017, 13:11

bijektion

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a) Nein, da sollte schon eine Zahl rauskommen und keine Funktion.
b) Vesuch doch mal das Gebiet $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ zu beschreiben. Das ist nur ein Dreieck, sollte daher einfach möglich sein.

29.10.2017, 13:21

Merveq

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Hmm was habe ich denn falsch bei der a)..

Meine Ansatz zu a)

$\begin{eqnarray*} \int_{y=x^2}^{2-x} \! \int_{x=0}^{1} \! 4xy \, dx \, dy \end{eqnarray*}$

Ausgerechnet kommt die Funktion..

b) also wir haben zwei geraden y=0,25x und y=-0,25x+1

Bzw wir haben die Kordinaten : (0,0) , (0,1) , (2,0.5)

Wie hilft mir das weiter ?

29.10.2017, 13:35

bijektion

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Erstmal die (a): Das Problem liegt allein schon darin, dass du nicht einfach im äußeren Bereich in den Grenzen ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ haben kannst.

Es gilt doch $\begin{eqnarray*} D=\left\{ (x,y)~|~0\leq x\leq 1 \text{ und } x^2\leq y \text{ und } <\leq 2-x \right\} \end{eqnarray*}$ , jetzt kannst du die Bedingung in $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ mal anders schreiben, d.h. so, dass etwas von der Form $\begin{eqnarray*} a\leq y\leq b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c\leq x\leq d \end{eqnarray*}$ da steht, wobei $\begin{eqnarray*} a,b,c,d \end{eqnarray*}$ zu bestimmen sind und ggf. von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ abhängen.

29.10.2017, 13:46

Merveq

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Ok Danke

smile

Ich habe dann einmal

x^2 <= y daraus folgt 0 <= x^2 <= 1 <= y daraus würde folgen das y>=1 ist

Es gilt außerdem 0<= x<= 1 äquivalent zu 2>= 2-x >= 3 >= y daraus würde folgen y<= 3 ist

Die Vereinigung dieser Mengen sind 1<= y<= 3 stimmt das jetzt ?

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29.10.2017, 13:54

bijektion

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Nein, das geht so nicht. Du hast wegen $\begin{eqnarray*} y\leq 2-x \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} x\leq 2-y \end{eqnarray*}$ gelten muss und wegen $\begin{eqnarray*} x^2\leq y \end{eqnarray*}$ muss $\begin{eqnarray*} x\leq \sqrt{y} \end{eqnarray*}$ erfüllt sein. Damit ergibt sich schonmal $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq \min (\sqrt{y},2-y) \end{eqnarray*}$ . In welchem Bereich kann nun das $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ laufen?

29.10.2017, 14:03

Merveq

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Hmm schade

Also y sollte jetzt eigentlich 1 sein da dann : 0<= x <= 1 gelten würde

Aber ich glaube das ist wieder falsch—.—

29.10.2017, 14:05

bijektion

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$\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ kann nicht nur eine Stelle sein, sondern muss in einem Bereich laufen. Den bekommst du aus dem ursprünglichen $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ . Wie groß kann das $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ da höchstens sein?

Du kannst dir auch mal eine Skizze anlegen, diese dann um $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ drehen und dann siehst du vielleicht etwas besser, was hier gerade gemacht wird.

29.10.2017, 14:10

Merveq

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Hm ja dann muss es ja 2-x sein und mindestens x^2

29.10.2017, 14:11

bijektion

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Und $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ kann mal $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ werden und $\begin{eqnarray*} 2-x \end{eqnarray*}$ kann außerdem mal $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ werden. Daher ist $\begin{eqnarray*} 0\leq y\leq 2 \end{eqnarray*}$ .

29.10.2017, 14:19

Merveq

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Ich glaube ich verstehe jetzt das Prinzip ...

Also ist unser 2tes Intervall x^2 kann einmal 1 werden wenn wir 1 einsetzen und einmal wieder 1 wegen 2-1=1
Also ist unser Intervall 0<= y<= 1 unser endresultat

Und damit kommt dann auch als Ergebnis 1 raus stimmt das .

29.10.2017, 14:23

bijektion

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Zitat:

Also ist unser 2tes Intervall x^2 kann einmal 1 werden wenn wir 1 einsetzen und einmal wieder 1 wegen 2-1=1 Also ist unser Intervall 0<= y<= 1 unser endresultat

Das ist jetzt nur die halbe Wahrheit. Wie schon gesagt ist $\begin{eqnarray*} 0\leq y\leq 2 \end{eqnarray*}$ . Du kanst nämlich auch noch "die andere Seite" von deinem Schnittpunkt nehmen (der liegt ja bei $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ wie du gerade erkannt hast).

29.10.2017, 14:28

Merveq

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Hmm ich habe jetzt zur Berechnung des Intervalls die Untergrenze 0 und die Obergrenze 1 genommen also ist das nicht richtig ? Ich müsste dann wohl o und 2 nehmen oder sehe ich das jetzt komplett falsch ?

29.10.2017, 14:33

bijektion

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Welches Intervall überhaupt?

29.10.2017, 14:35

Merveq

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UPS ich meine natürlich Integral Big Laugh

Big Laugh

Ich muss die Untergrenze 0 und die Obergrenze 2 nehmen oder

29.10.2017, 14:37

bijektion

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Ja, richtig. Jetzt hast du ja $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ hoffentlich entsprechend bestimmt, dass du ganz entspannt das Integral ausrechnen kannst.

29.10.2017, 14:41

Merveq

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Ok vielen Dank für das integral kommt nun 4 raus.

Jetzt zur b) wie kann ich hier die Ober und Untergrenze berechnen. Die Kordinaten vom Dreieck sind (0,0),(0,1),(2,0.5)
Das integral von dx muss ja dann die Untergrenze 0 haben und Obergrenze 2 und von dy 0 und 1 oder ?

29.10.2017, 14:51

bijektion

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Hab ich nicht raus.

Erstmal kannst du nicht "die" Ober- und Untergrenze bestimmen, da du nicht über ein Intervall integrierst. Du musst das Dreieck beschreiben: Zum Beispiel $\begin{eqnarray*} D:=\left\{ (x,y)~|~ 0\leq x\leq 2 \text{ und } A(x)\leq y\leq B(x)\right\} \end{eqnarray*}$ mit noch zu bestimmendem $\begin{eqnarray*} A(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B(x) \end{eqnarray*}$ .

29.10.2017, 15:01

Merveq

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Was hast du nicht raus ? Das Ergebnis vom Integral eben ? Also die a?

Kann es sein das A(x)= y= 0,25x ist und B(x)= y= -0,25x+1 ist ?

29.10.2017, 15:03

bijektion

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Ja.

Zitat:

Kann es sein das A(x)= y= 0,25x ist und B(x)= y= -0,25x+1 ist ?

Ja.

29.10.2017, 15:08

Merveq

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Warum hast du das bei der a nicht raus ?

Wir haben ja das Integral

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2} \! \int_{0}^{1} \! 4xy \,dx dy \end{eqnarray*}$

Im Rechner kommt auch 4 raus.

29.10.2017, 15:09

bijektion

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Weil das Ergebnis nicht vier ist. Dein Integral ist falsch.

29.10.2017, 15:11

bijektion

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Du weißt doch mittlerweile, dass $\begin{eqnarray*} D=\left\{ (x,y)~|~0\leq y\leq 2 \text{ und }0\leq x\leq \min(2-y,\sqrt{y}) \right\} \end{eqnarray*}$ , wie integrierst du den darüber?

29.10.2017, 15:16

Merveq

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Hmm jetzt bin ich aber verwirrt... Für dx ist ja das Intervall schon gegeben also 0<= x<= 1 und nun haben wir auch 0<=y<= 2 also ist es doch einfach das Integral was ich geschrieben habe

verwirrt

29.10.2017, 15:18

bijektion

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Nein! Dann würdest du über ein Rechteck integrieren, das ist $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ aber sicher nicht. Weißt du wie man über so ein Gebiet, wie $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ es ist, integrierst?

29.10.2017, 15:24

Merveq

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Nein dann weiß ich es nicht dachte es wäre so richtig...

Bei der b habe ich 7,81(-0,5x+1) raus das müsste dann auch falsch sein

29.10.2017, 15:28

bijektion

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Ok. Also bei $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ sieht das Integral dann so aus: $\begin{eqnarray*} \int_D~4xy\dd xy = \int_0^2~\int_0^{\min(\sqrt{y},2-y)}~4xy \dd x \dd y \end{eqnarray*}$ . Das kannst du jetzt, wie bekannt, ausrechnen.

Bei (b) ist die Menge, das hast du ja schon eingesehen, gegeben durch $\begin{eqnarray*} D=\left\{ (x,y)~|~0\leq x\leq 2 \text{ und } \frac{x}{4}\leq y\leq 1-\frac{x}{4}\right\} \end{eqnarray*}$ . Jetzt wie bei (a) vorgehen.

29.10.2017, 15:38

Merveq

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Bei der b habe ich 2,74

Aber bei der a) habe ich ja was ich für min(....) eingeben soll

29.10.2017, 15:39

bijektion

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Zitat:

Aber bei der a) habe ich ja was ich für min(....) eingeben soll

Das hängt aber schon von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ab.

29.10.2017, 15:51

Merveq

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$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2} \! 2ymin(\sqrt{y} ,2-y)^2dy \end{eqnarray*}$

Hier komme ich nicht mehr weiter

29.10.2017, 16:23

Leopold

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Fallunterscheidung: $\begin{align*} 0 \leq y \leq 1 \, , \ \ 1 \leq y \leq 2 \end{align*}$
Was ist im jeweiligen Intervall das Minimum?

Nach einer Diskussion, die wir hier neulich führten, solltest du übrigens $\begin{align*} \left( \min \left( \sqrt{y} \, , \, 2-y \right) \right)^2 \end{align*}$ schreiben.

29.10.2017, 16:31

Merveq

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In beiden Fällen ist es 0 fällt das Intervall also weg ?

29.10.2017, 16:59

Merveq

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Ich meinte fällt das integral dann weg ?

29.10.2017, 17:27

Leopold

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Der Integrand ist fast überall positiv. Wie kann das Integral da 0 werden? verwirrt

verwirrt

$\begin{align*} \min \left( \sqrt{y} \, , \, 2-y \right) = \begin{cases} \sqrt{y} , & 0 \leq y \leq 1 \\ 2-y , & 1 \leq y \leq 2 \end{cases} \end{align*}$

Eine Skizze der Graphen der Funktionen $\begin{align*} u(y) = \sqrt{y} \end{align*}$ und $\begin{align*} v(y) = 2-y \end{align*}$ zeigt das sofort. (Du weiß doch, was "Minimum" heißt?)

29.10.2017, 17:32

Merveq

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Hmm bin echt verwirrt wie kommst du auf die Intervall einteilung

verwirrt

Was ist jetzt das Minimum soll ich das integral 2 mal lösen einem für das eine Intervall und dann für das andere ??
Ja klar weiß ich was minimum bedeutet aber verstehe es nicht in diesem zusammenhang !
Ich verstehe das wirklich nicht was gemeint ist...
was soll ich den einsetzen für y !?
Klar ist min(1,2) = 1 etc.
Aber was soll ich hier für mein y einsetzen damit ich sehe was kleiner isr ??

29.10.2017, 17:49

Leopold

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Die Graphik zeigt die Funktion $\begin{align*} y \mapsto \min \left( \sqrt{y} \, , \, 2-y \right) \end{align*}$ . Beachte, daß du noch quadrieren und mit $\begin{align*} 2y \end{align*}$ multiplizieren mußt.

[attach]45509[/attach]

Verwende die Intervalladditivität: $\begin{align*} \int_0^2 \ldots = \int_0^1 \ldots + \int_1^2 \ldots \end{align*}$

29.10.2017, 18:21

Merveq

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Dann haben wir doch beim ersten Integral

min( 0,2)=0
Und min(1,1)=1

Und im zweiten Integral

min(1,1)=1
Und min(sqrt(2),0)=0

Welche solle ich den jeweils nehmen ?
Im ersten Integral wenn wir 0 einsetzen kommt 0 raus also sollte ich 1 einsetzen oder nicht ?
Genauso im zweiten integral

29.10.2017, 19:17

Merveq

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Achso habs jz verstanden,

Ich muss dann in den einen Integral sqrt(y) benutzen und in den anderen 2-y
Stimmt das ?

29.10.2017, 21:31

Merveq

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Ich habe 1,5 raus stimmt das

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