Aufgaben zur Funktionsuntersuchung

29.10.2017, 12:26

Saturnight

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Aufgaben zur Funktionsuntersuchung

Meine Frage:
Hallo zusammen! smile

smile

Ich bräuchte etwas Hilfe bei den folgenden 3 Aufgaben:

Gegeben sind die Funktionen $\begin{eqnarray*} f(x) = -x^{2} +4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) = x^{2} - 5x +6 \end{eqnarray*}$

1. Bestimmen Sie die Steigung von f bei $\begin{eqnarray*} x_{0} = 1 \end{eqnarray*}$ mithilfe des Differentialquotienten!

2.Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{f(x)}{g(x)} \end{eqnarray*}$ !

3.Zeigen Sie, dass sich die Tangenten in den Schnittpunkten der Graphen von f und g unter den gleichen Winkeln schneiden.

Es wäre nett, wenn ihr mir damit helfen könntet.

Meine Ideen:
1. Wenn man alles in die Gleichung des Differentialquotienten einsetzt bekomme ich $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{0} } \frac{(-x^{2}+4) - (1+4) }{x-1} \end{eqnarray*}$ . Man könnte jetzt die 3. Binomische Formel bei $\begin{eqnarray*} (-x^{2}+4) \end{eqnarray*}$ anwenden, jedoch würde mir das nicht bringen, oder?

2.Setzt man beide Funktionen ein bekomme ich $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{-x^{2}+4}{x^{2}-5x+6 } \end{eqnarray*}$ . Hier würde ich die x^{2} ausklammern. Die kann man danach kürzen, sodass man am Ende 1 als Ergebnis hat. Ist das richtig?

3.Zuerst würde ich versuchen die Schnittpunkte zu ermitteln, indem ich beide Gleichungen gleichsetze. Durch Umformen und anschließenden Anwenden der pq-Formel:
0=1,25 +/- $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{25}{16} -\frac{16}{16} } \end{eqnarray*}$ bekomme ich als Ergebnis die Punkte P1(3,5/-8,25) und P2(-1/5). Dies stimmt jedoch nicht mit meiner Skizze überein?

29.10.2017, 12:37

Jefferson1992

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Zur 1)

Du hast ein Vorzeichen vergessen, schau dir den Differenzialquotient nochmal an smile

smile

Zur 2)

Auch da hat sich meiner Meinung nach ein Vorzeichenfehler eingeschlichen. Führe deine Überlegungen mal mathematisch aus.)

29.10.2017, 13:18

Saturnight

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zu 1) Wo? Beim Aufstellen der Gleichung? Wenn man 1 für x einsetzt bekommt man doch (1+4). Oder meinst du, wenn ich die Binomische Formel anwende?

zu 2) Ah, ich hab das Minus vor $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ vergessen, ja?

Rechnung müsste dann ja folgendermaßen lauten:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{-x^{2}+4 }{x^{2}-5x+6 } \end{eqnarray*}$ /Ausklammern

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{x^{2}\cdot (-1+\frac{4}{x^{2} }) }{x^{2}\cdot (1-\frac{5}{x}+\frac{6}{x^{2} } )} \end{eqnarray*}$ /x einsetzen

$\begin{eqnarray*} 1\cdot (-1) \end{eqnarray*}$ = -1

29.10.2017, 13:20

Jefferson1992

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Zitat:

Original von Saturnight
zu 1) Wo? Beim Aufstellen der Gleichung? Wenn man 1 für x einsetzt bekommt man doch (1+4). Oder meinst du, wenn ich die Binomische Formel anwende?

Wie ist bei euch der Differenzialquotient definiert?

zu 2) Ah, ich hab das Minus vor $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ vergessen, ja?

Rechnung müsste dann ja folgendermaßen lauten:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{-x^{2}+4 }{x^{2}-5x+6 } \end{eqnarray*}$ /Ausklammern

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{x^{2}\cdot (-1+\frac{4}{x^{2} }) }{x^{2}\cdot (1-\frac{5}{x}+\frac{6}{x^{2} } )} \end{eqnarray*}$ /x einsetzen

$\begin{eqnarray*} 1\cdot (-1) \end{eqnarray*}$ = -1

Perfekt! <3

29.10.2017, 13:37

Saturnight

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Der Differentialquotient, auch lokale Änderungsrate genannt, beschreibt den Anstieg der Tangente an einer bestimmten Stelle $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ . Die Gleichung dafür lautet:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{0} } \frac{f(x) - f(x_{0}) }{x - x_{0} } \end{eqnarray*}$

29.10.2017, 13:45

Jefferson1992

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Zitat:

Original von Saturnight
Der Differentialquotient, auch lokale Änderungsrate genannt, beschreibt den Anstieg der Tangente an einer bestimmten Stelle $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ . Die Gleichung dafür lautet:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{0} } \frac{f(x) - f(x_{0}) }{x - x_{0} } \end{eqnarray*}$

genau! und du hast jetzt eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \frac{-x^2+4)-(1+4)}{x-1} \end{eqnarray*}$

Was ist denn $\begin{eqnarray*} -x^2 \end{eqnarray*}$ wenn du 1 einsetzt?

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29.10.2017, 13:48

Saturnight

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Man bekommt dann 1 raus. Aber ich hab jetzt doch noch nichts umgeformt, also warum sollte ich das jetzt schon einsetzen? Oder kann man nichts an der Gleichung vereinfachen?

29.10.2017, 13:50

Jefferson1992

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Zitat:

Original von Saturnight
Man bekommt dann 1 raus. Aber ich hab jetzt doch noch nichts umgeformt, also warum sollte ich das jetzt schon einsetzen? Oder kann man nichts an der Gleichung vereinfachen?

nö!

$\begin{eqnarray*} -(1^2) \end{eqnarray*}$ ist sicherlich nicht 1.

29.10.2017, 13:54

Saturnight

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Ah, stimmt ja. Hammer

Hammer

Das Minus gehört ja nicht zum x, es steht nur davor. Ja, dann ist es -1.

29.10.2017, 13:55

Jefferson1992

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Zitat:

Original von Saturnight
Ah, stimmt ja. Hammer

Hammer

Das Minus gehört ja nicht zum x, es steht nur davor. Ja, dann ist es -1.

dann versuch es nochmal aufzulösen, ist jetzt nicht mehr schwer smile

smile

29.10.2017, 14:03

Saturnight

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Zitat:

Original von Jefferson1992

dann versuch es nochmal aufzulösen, ist jetzt nicht mehr schwer smile

smile

Super, dann fühl ich mich jetzt extra blöd, wenn ich nicht so richtig weiß wie. Big Laugh

Big Laugh

War mein Vorschlag mit der 3. Binomischen Formel denn was wert? Und falls ja, wie würde mir das helfen.

29.10.2017, 14:10

Jefferson1992

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Schreib den Rechenweg mit deinen neuen Erkenntnissen nochmal hin smile

smile

3.Binomische Formel hilft ja smile

smile

29.10.2017, 14:23

Saturnight

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Nun, jetzt habe ich diese Formel:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{0} } \frac{(-x^{2}+4)-(-1+4)}{x-1} \end{eqnarray*}$

So, und jetzt könnte ich die 3. Binomische Formel bei $\begin{eqnarray*} (-x^{2}+4) \end{eqnarray*}$ = (-x+2)*(x+2) oder $\begin{eqnarray*} (-1+4) \end{eqnarray*}$ = (-1+2)*(1+2) anwenden. Beides würde mir meiner Auffassung nach nicht sehr viel bringen.

29.10.2017, 17:30

Jefferson1992

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Hallo,

sorry, war arbeiten!

Du kannst den Zähler doch ausrechnen.. mach aus dem Zähler ein Ausdruck der Form $\begin{eqnarray*} x^2+a \end{eqnarray*}$

29.10.2017, 22:35

Saturnight

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Sorry, ich steh gerade auf dem Schlauch. Was genau meinst du damit? verwirrt

verwirrt

29.10.2017, 23:24

Jefferson1992

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$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{0} } \frac{(-x^{2}+4)-(-1+4)}{x-1} \end{eqnarray*}$

Warum rechnest du den Zähler nicht einfach aus? Das ist eine Variable und 3 Zahlen.

Seit wann verwendet man bei einem Ausdruck, der nur aus Zahlen besteht, die 3. binomische Formel?

(-1+4) ist nun mal einfach 3. Da brauche ich keine 3. binomische Formel...

30.10.2017, 16:58

Saturnight

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Ah, jetzt hab ich's kapiert. Dann bekommt man im Zähler $\begin{eqnarray*} (-x^{2} +1) \end{eqnarray*}$ , wodurch man dann die 3. Binomische Formel anwenden kann. Durch Ausklammern und Kürzen bekommt man dann als Ergebnis -2. Liege ich richtig?

31.10.2017, 13:10

Jefferson1992

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sieht gut aus!

31.10.2017, 16:13

Saturnight

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Super, Danke für die bisherige Hilfe! Freude

Freude

Nun noch zur letzten Aufgabe. Zuerst würde ich beide Funktionen gleichstellen, um die Schnittpunkte zu erhalten. Diese wären P1(0,5/3,75) und P2(2/0). Stimmt das?

31.10.2017, 20:02

Jefferson1992

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Schnittpunkte stimmen.
Wie machst du weiter?

31.10.2017, 20:27

Saturnight

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Ich würde die erste Ableitung beider Funktionen bilden, welche f(x) = -2x und g(x) = 2x - 5 wären. In diese würde ich für x dann die x Werte von den beiden Schnittpunkten eingeben und dann den Winkel durch den Tangens ausrechnen.

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