Orthogonalität Beweis

29.10.2017, 13:37

LaLiLuLinsky

Orthogonalität Beweis

Hallo liebes mathboard,

ich habe mal wieder eine Beweis Aufgabe vor mir, bei der mir nicht so ganz klar ist, wie ich vorgehen soll oder muss.

Die Aussage die es zu beweisen gilt, ist eigentlich relativ einfach:
Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum und U ein Unterraum von V. Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} (U^\perp )_\perp = U \end{eqnarray*}$ .

In meinen Unterlagen habe ich folgende Definition gefunden, die mir hilfreich erscheint.

Seien $\begin{eqnarray*} f \in V^*, v\in V, A\subseteq V \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} A^\perp := \left\{ f\in V^*\mid f(a)=0 \; \forall a\in A\right\} \end{eqnarray*}$ . Wie kann ich mithilfe dieser Definition die Aussage beweisen? Kann mir bitte jemand helfen? Oder zumindest einen Denkimpuls verpassen?

Das wäre wie immer sehr sehr nett!

Vielen Dank, viele Grüße und noch einen schönen Sonntag

29.10.2017, 13:40

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Was gilt dann? Da steht keine Aussage.

29.10.2017, 13:44

LaLiLuLinsky

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von bijektion
Was gilt dann? Da steht keine Aussage.

Sorry, hab's jetzt ergänzt - Wie dumm von mir, das wesentliche zu vergessen...

29.10.2017, 13:57

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst natürlich auch noch $\begin{eqnarray*} B_\perp := \left\{ b\in V ~|~ b(v)=0 \text{ für alle }b\in B\right\} \end{eqnarray*}$ angeben.

Versuch nun zuerst die " $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ "-Richtung zu zeigen.

29.10.2017, 17:16

LaLiLuLinsky

Auf diesen Beitrag antworten »

[quote]Original von bijektion
Du musst natürlich auch noch $\begin{eqnarray*} B_\perp := \left\{ b\in V ~|~ b(v)=0 \text{ für alle }b\in B\right\} \end{eqnarray*}$ angeben.

Ich weiß ehrlich gesagt gerade nicht genau, was du meinst. Das Einzige, was ich zur Orthogonalität in meinen Unterlagen aus der Vorlesung gefunden habe, ist die Definition, die ich oben schon genannt habe.

Unser eigentlicher Dozent ist zur Zeit leider erkrankt und wird seit einigen Wochen nur mittelmäßig gut vertreten. Von daher bin ich jetzt leider nicht allzu gut aufgestellt, was das Wissen zum Thema Orthogonalität angeht.

Von daher wäre ich sehr dankbar, wenn du mir vielleicht ein bisschen ausführlicher sagen könntest, was du meinst bzw was hier genau zu tun ist.

31.10.2017, 07:47

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe nur die Definition hingeschrieben, im wesentlichen sind das hier Annihilatoren.
Nimm nun einfach mal an, dass $\begin{eqnarray*} w\in (U^\perp)_\perp \end{eqnarray*}$ . Das ist genau dann der Fall, wenn $\begin{eqnarray*} \langle w,u^*\rangle =0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} u^*\in U^\perp \end{eqnarray*}$ . Ist dir klar warum? Jetzt schreibst du die Definition von $\begin{eqnarray*} U^\perp \end{eqnarray*}$ hin und hast die eine Richtung schon fertig.

Edit: $\begin{eqnarray*} \langle w,u^*\rangle :=u^*(w) \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

Orthogonalität Beweis

Verwandte Themen