Grundsätzliches Beweisproblem

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Pippen Auf diesen Beitrag antworten »
Grundsätzliches Beweisproblem
1. Alle math. Beweise B basieren auf ZFC.

2. ZFC ist ein hinreichend mächtiges formales System, so dass es nach dem 2. Gödelschen U-Satz sich nicht selbst als widerspruchslos beweisen kann.

3. Damit kann ZFC widersprüchlich sein.

4. Damit ist jeder B der Mathematik hypothetisch (wenn ZFC widersprüchlich, dann gälte B & ~B, doch nur einer der Beiden wäre falsch, was unentscheiden bleibt).

Ist dieser Gedankengang richtig?
Zusatzfrage: Die beiden Gödelschen U-Sätze basieren auf was für einem System? Kann es sein, dass das System, worin die Gödelschen U-Sätze beweisen werden, selbst unter die Aussage ebenjener U-Sätze fallen, so dass die Gödelschen U-Sätze selbst nur hypothetisch unter widerspruchsfreier Geltung ihrer System stünden?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wir wissen, dass die Widerspruchsfreiheit hinreichend aussagefähiger Systeme innerhalb derselben Systeme nicht bewiesen werden kann. Wir machen unverdrossen weiter Mathematik und überlegen was wir machen, wenn ein Widerspruch auftreten sollte, sobald ein Widerspruch auftritt - was nicht notwendig der Fall ist. Es wäre ja nicht das erste Mal, dass ein Widerspruch auftritt. Die Mengenlehre haben wir gerettet, indem wir sie eingeschränkt und axiomatisiert haben.
Gödel selbst hat deutlich darauf hingewiesen, dass seine Beweise der Unvollständigkeitssätze rein konstruktiv sind, er macht keinen Gebrauch vom Auswahlaxiom oder ähnlichem. Gödels Beweise beruhen auf der Arithmetik und Logik.
Buchempfehlung: Dirk W. Hoffmann "Die Gödel'schen Unvollständigkeitssätze" und "Grenzen der Mathematik", Springer Verlag.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

1. Mein Punkt ist, dass alle Beweise der Mathematik die folgende Form haben, mal am Beispiel von : ist keine rationale Zahl unter der Bedingung der Widerspruchsfreiheit von ZFC, welche aber nie beweisbar sein wird und damit immer die Widersprüchlichkeit eines Tages in Betracht käme, d.h. die Mathematik wäre in keiner anderen Position als andere Wissenschaften, die letztlich auch immer nur fallible Theorien aufstellen und dann genauso argumentieren wie du: hat bis jetzt geklappt, tolle Vorhersagen, kein Grund die Theorie fallenzulassen (was ja auch stimmt). Damit fehlt aber der Mathemtik ihr Alleinstellungsmerkmal infallibler Theorien!

2. Wir haben die Mengenlehre nur vor den Antinomien der naiven Mengenlehre gerettet. Wir können sie jedoch nicht vor dem 2. Gödelschen U-Satz retten, der immer über ihr - wie ein Damoklesschwert - schweben wird. (Ohne das Unendlichkeitsaxiom ist übrigens wohl ZFC als widerspruchsfrei zu beweisen, aber da fällt natürlich auch viel weg.)

3. Gödel's 2. U-Satz (nicht der erste!) setzt ein formales System S voraus, welches mächtig genug ist, den 1. U-Satz zu formulieren. Er beweist in S die Unfähigkeit, die Konsistenz von S zu beweisen und kann daraus den 2. U-Satz ableiten. Doch er kann gar nicht wissen, ob S nicht selbst widersprüchlich ist, so dass sein 2. U-Satz trivial wäre, denn genau das behauptet er ja anschließend mit seinem 2. U-Satz. Wäre sein 2. U-Satz wahr, dann wäre sein 2. U-Satz kein Beweis, sondern nur noch eine Hypothese!
005 Auf diesen Beitrag antworten »

Worauf willst Du eigentlich raus?

Alles ist erlaubt, alles ist beliebig?

Guck bei Onkel Dosty.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Wurzel aus 2 ist irrational, wenn du das nicht akzeptieren willst, darfst du gerne die Wurzel aus 2 als Bruch natürlicher Zahlen darstellen. Augenzwinkern Ohne Unendlichkeitsaxiom haben wir nicht einmal die natürlichen Zahlen zur Verfügung, wozu sollte eine Mathematik gut sein, in der man nicht einmal zählen kann ?
Gibt es noch Mathematiker, die sich oder ihre Wissenschaft für unfehlbar halten ? An Gödel kannst du nichts verbessern, den kannst du nur zu verstehen versuchen. Meine Geduld reicht nicht aus, um die Gödelschen Sätze und Beweise zu diskutieren.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grundsätzliches Beweisproblem
Zitat:
Original von 005
Worauf willst Du eigentlich raus?

Alles ist erlaubt, alles ist beliebig?

Guck bei Onkel Dosty.


Nein. Ich will nur klären, dass alle Beweise in der Mathematik bedingt sind, wie alle anderen Beweise in Natur- oder Geisteswissenschaften auch. Daraus folgt sofort, dass zB falsch sein kann, nämlich zB wenn ZFC falsch wäre, genauso die Gödelschen U-Sätze, wenn PL 1.Stufe mit Arithmetik falsch wäre. Ich finde das bemerkenswert, weil ich keinen Mathematiker kenne, der sich der Fallibilität seiner Sätze und Theorien so bewußt ist, wie zB Naturwissenschaftler, für die das ganz selbstverständlich ist.

(Könnte man dagegen die Mathrmatik auf AL oder PL 1. Stufe ohne Arithmetik aufbauen, dann wäre diese Mathematik unbedingt und sicher (genaugenommen auch die nicht, aber das führt dann tief in die Philosophie), denn diese Systeme könnte man so bauen, dass sie ihre eigene Korrektheit und Vollständigkeit zeigen.)

Ich wollte nur mal schauen, was andere so dazu meinen.
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grundsätzliches Beweisproblem
Zitat:
Original von Pippen
Ich finde das bemerkenswert, weil ich keinen Mathematiker kenne, der sich der Fallibilität seiner Sätze und Theorien so bewußt ist, wie zB Naturwissenschaftler, für die das ganz selbstverständlich ist.


Welcher Mathematiker kennt die Gödelschen Unvollständigkeitssätze nicht ? Kennst du auch nur einen einzigen lebenden Mathematiker, der die Widerspruchsfreiheit der Mathematik behauptet ? Was immer du hier als Problem siehst, ist seit fast 100 Jahren kein Problem mehr. Übrigens hat auch Hilbert nicht behauptet, die Mathematik sei widerspruchsfrei, er hat vielmehr das Problem gestellt, die Widerspruchsfreiheit zu beweisen.

kann nicht falsch sein, ist offensichtlich reell.

Zur Philosophie: Wenn unsere Welt nicht existiert, existiert immer noch die Mathematik in unseren Köpfen. Big Laugh
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grundsätzliches Beweisproblem
Zitat:
Original von Elvis
kann nicht falsch sein, ist offensichtlich reell.



Das ist eben falsch. Es kann sehr wohl falsch sein, wenn nämlich ZFC widersprüchlich wäre. Dann wäre nämlich o.g. Aussage und ihr Gegenteil ableitbar und wir wüßten, dass nur eins von beiden wahr sein kann und hätten keinen Grund (ZFC wäre ja wertlos) auszuschließen, dass das Gegenteil wahr wäre, d.h. es könnte wahr sein.

Kannst du das so unterschreiben?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man die Widerspruchsfreiheit von ZFC in ZFC beweisen? Nein. Folgt daraus, dass ZFC nicht widerspruchsfrei ist? Nein. Wir können darüber abstimmen, was wahr und was falsch ist, in der Mathematik ist das aber nicht üblich, weil die abgestimmte Mathematik setzt und deshalb nicht widerspruchsfrei ist.

Die reelle Zahl ist und bleibt reell. Ich kann sie konstruieren und beweisen, dass sie irrational ist. Wer das nicht einsehen will, kann glauben was er/sie will, das fällt dann unter Meinungsfreiheit, nicht unter Mathematik.

Falls du dich wirklich für dein Beispiel interessierst, wirst du vielleicht wissen, dass nach dem 2. Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz , also kein Quadrat in ist. (Gauß hatte mit Sicherheit nichts mit dem Auswahlaxiom am Hut, als er das bewiesen hat.) Wir können also genau wie über eine Lösung der quadratischen Gleichung zu adjungieren und erhalten eine quadratische Erweiterung . Nach dem Henselschen Lemma heben wir diese zu einer ganzen -adischen Zahl hoch und erhalten eine der 3 quadratischen Erweiterungen von , nämlich . Für ist eine von 8 quadratischen Erweiterungen über , wie man leicht nachrechnet. Genügt das als Beweis für die Irrationalität von ? Anderenfalls wäre für alle im Widerspruch zum 2. Ergänzungssatz.

Das ist nur ein kleines Beispiel dafür, was wir unter der Wurzel aus einer Zahl verstehen. Im allgemeinen adjungieren wir einfach nach Kronecker eine Nullstelle eines irreduziblen Polynoms. Kronecker kann man nun wirklich nicht nachsagen, er habe sich gut mit Cantor verstanden oder die Mengenlehre unterstützt. An konstruktiven Verfahren hat aber selbst Kronecker nicht gezweifelt. Warum hätte er auch an sich selbst und an seinem Tun zweifeln sollen ?
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Kann man die Widerspruchsfreiheit von ZFC in ZFC beweisen? Nein. Folgt daraus, dass ZFC nicht widerspruchsfrei ist? Nein.


Zustimmung.

Mein Punkt ist: ZFC kann widersprüchlich sein. Das können wir beweisen! Der Beweis liegt darin, dass wir die Widerspruchsfreiheit von ZFC in ZFC nicht beweisen können, woraus sofort folgt, dass ZFC widersprüchlich sein können muss (sonst wäre ja gerade die Widerspruchsfreiheit von ZFC in ZFC bewiesen). Wenn das daher so ist, dann musst du zugeben, dass jeder Beweis der Mathematik trivial sein kann und das jeder Satz der Mathematik falsch sein kann! (Natürlich gehen wir davon aus, dass diese Möglichkeit nicht realisiert wird, weil ZFC widerspruchsfrei ist und damit unsere Mathematik insgesamt stimmt, aber sicher können wir uns da eben nicht sein.)

Interessant wäre das deshalb, weil eine Mathematik ohne Unendlichkeit als widerspruchsfrei beweisbar wäre, d.h. die moderne Mathematik tauscht offenbar die Sicherheit gegen größere Mächtigkeit ihrer Ideen. Gerade für einen Finisten liegen hier einige gute Argumente: die Unendlichkeit beschert uns alle Paradoxien, Gödels Sätze und immerwährender Unsicherheit...ist es das wert?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wir lassen uns nicht mehr aus dem Paradies vertreiben, das Cantor für uns geschaffen hat. 100 Jahre alte Einwände sind kein überzeugender Grund, die gesamte Mathematik des 20. Jahrhunderts auch nur infrage zu stellen geschweige denn aufzugeben.
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Mathematik ohne Unendlichlichkeit ist absolut langweilig.
Und die "Unsicherheit" ist praktisch irrelevant.

Und was hat die Ansicht, dass bald alles durch einen 3. Weltkrieg enden wird mit Mathematik zu tun?
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Wir lassen uns nicht mehr aus dem Paradies vertreiben, das Cantor für uns geschaffen hat. 100 Jahre alte Einwände sind kein überzeugender Grund, die gesamte Mathematik des 20. Jahrhunderts auch nur infrage zu stellen geschweige denn aufzugeben.


Sehe ich ja genauso, trotzdem wichtig, die Grenzen zu kennen. Gerade erst wieder ein Mathebuch gelesen, wo sich der Schreiber ereiferte, dass die Beweise der Mathematik ewig bestünden und zB die Unendlichkeit der Primzahlen auch noch 10.000 AC bewiesener Fakt wären. Da merkt man eben, dass nicht wenige Mathematiker noch vor-gödelsche Mathematik mit moderner Mathematik vermischen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt genau so viele Primzahlen wie natürliche Zahlen. Wer den Beweis nicht verstanden hat oder nicht verstehen will kann sich nicht mit etwas befassen, das die Bezeichnung Mathematik verdient. Dazu brauche ich keinen Eifer sondern ein kleines bisschen Vernunft.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Es gibt genau so viele Primzahlen wie natürliche Zahlen. Wer den Beweis nicht verstanden hat oder nicht verstehen will kann sich nicht mit etwas befassen, das die Bezeichnung Mathematik verdient. Dazu brauche ich keinen Eifer sondern ein kleines bisschen Vernunft.


Der Beweis - und damit die mathematische Tatsache - kann sich 2098 als falsch herausstellen, wenn man nämlich in jenem Jahr feststellt, dass ZFC widersprüchlich ist.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man so sehen. Andererseits, ist das System widersprüchlich, so kann man diese Widerspruch benutzen um zu zeigen, dass alle Aussagen wahr sind. (Aus etwas Falschem kann man alles folgern.)

Damit waren die bisherigen Beweise nur unnötig kompliziert, die bewiesenen Aussagen bleiben korrekt. (Und auch falsch, aber ich sehe die Sache lieber optimistisch Augenzwinkern )
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Mathematik macht Spaß und hat sich bisher in vielen Anwendungen bewährt. Mathematik ohne Zahlen ist mickrig - und ich meine nicht nur die Zahlen, die jedes Kind kennt. Es besteht kein Grund zur Panik. Wenn morgen jemand beweist, dass ZFC nicht widerspruchsfrei ist, suchen wir uns eine neue Arbeitsgrundlage. Wer aus unbegründeter Angst vor Paradoxien die moderne Mathematik ablehnt, muss begründete Angst vor Zenons Paradoxien und allen mit der Unendlichkeit zusammenhängenden Paradoxien haben. "Es könnte ein Problem geben" ist kein Problem. Mathematiker haben berufsbedingt eine robuste Psyche, um uns von der Existenz eines Problems zu überzeugen, muss man das Problem formulieren und nicht nur die Möglichkeit eines Problems vermuten. "Beim Teutates, der Himmel könnte uns auf den Kopf fallen" regt mich auch nicht auf.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von IfindU
Kann man so sehen. Andererseits, ist das System widersprüchlich, so kann man diese Widerspruch benutzen um zu zeigen, dass alle Aussagen wahr sind. (Aus etwas Falschem kann man alles folgern.)


Man kann zwar aus Falschem alles folgern, aber das Gefolgerte ist dadurch keineswegs notwendig wahr! Wenn ZFC falsch wäre, dann wäre in der Mathematik (genauer: in ZFC) alles beweisbar, so auch dass es unendliche viele Primzahlen und endlich viele Primzahlen gäbe. Wir wüßten aber aufgrund des Zweiwertigkeitsprinzips, dass eine der beiden bewiesenen Aussagen falsch sein muss und es gäbe keinen Grund, warum nicht 'es gibt endliche viele Primzahlen' wahr sein könnte. Das wäre dann nicht mehr zu klären und die "Wahrscheinlichkeit" dafür wäre genauso hoch, wie für den umgekehrten Fall. Sehe ich das richtig?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso sollte das "Zweiwertigkeitsprinzip" gelten? Ich wüsste nicht warum das alleine über allen anderen Prinzipien und Axiomen stehen soll. Wenn das Axiomsystem zusammenbricht, dann auch das. Dann sind Aussagen eben gleichzeitig wahr und falsch. Wenn und beides korrekt, brechen eben alle Konzepte zusammen. Es macht wenig Sinn nach der Endlichkeit der Menge der Primzahlen zu fragen, wenn jede Zahl gleichzeitig prim und nicht prim wäre.

Ich bin allerdings kein Logiker, und klinge mich mal wieder aus.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ein System S widersprüchlich ist, dann muss man unterscheiden: Folgern (beweisen) kann man dann in S jede Aussage wg. EFQ. Aber natürlich gilt darüberhinaus die allgemeine Logik in S, d.h. p xor ~p. Also am Bsp. eines falschen ZFC: Dann kann man 1=0 und ~(1=0) beweisen. Aber beide Aussagen dürfen nicht wahr sein, also muss eine falsch sein, wir haben nur kein Mittel, diese Frage zu entscheiden, jedenfalls mit ZFC.

Ich bin auch kein Profilogiker und genau deshalb dieser Thread, um zu sehen, ob ich richtig denke, denn das scheinen mir doch fundamentale Dinge zu sein.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn eine Aussage beweisbar ist, so ist sie wahr. Gödel hat gezeigt, dass die Umkehrung nicht gilt. Selbstverständlich bricht jede Logik zusammen, wenn die Mathematik zusammenbricht. Die Logik ist ein Teilgebiet der Mathematik. Jedes formale System beinhaltet seine logischen Schlußweisen.
Du denkst genau so fundamental falsch wie Aristoteles. Ich entschuldige ihn, weil er es nicht besser wissen konnte. Ich entschuldige dich nicht, weil du es besser wissen könntest.
Ich wiederhole gerne noch einmal: Studiere Dirk W. Hoffmann "Die Gödelschen Unvollständigkeitssätze", "Grenzen der Mathematik" und Oliver Deiser "Einführung in die Mengenlehre", und du wirst danach viel klüger sein als zuvor. Hoffmanns Bücher lesen sich wie Romane und sind trotzdem sehr gehaltvoll, Deisers Buch ist mathematisch etwas anspruchsvoller aber dennoch für Anfänger geeignet (wunderbare Einschlaflektüre - nicht abwertend gemeint - ich lese jeden Abend ein wenig darin).
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Wenn eine Aussage beweisbar ist, so ist sie wahr.


Das ist schlicht falsch. In einem widersprüchlichen System kannst du p und ~p beweisen und wir wüßten, dass du damit mindestens eine falsche Aussage beweist. Gödel zeigt "nur", dass in einem widerspruchsfreien System zwar alles, was beweisbar auch wahr ist, aber nicht alles was wahr ist, auch beweisbar ist. Der eigentliche Hammer ist aber sein 2. U-Satz, denn ein paar unbeweisbare Wahrheiten kann man hinnehmen, aber eine unbeweisbare Konsistenz (und damit eine immer mögliche Inkonsistenz) ist viel furchteinflößender, so meine ich.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht nicht um ein paar unbeweisbare Aussagen in einem formalen System. Wie in jedem guten Diagonalargument kann man aus dem Unvollständigkeitssatz schließen, dass es unendlich viele wahre Aussagen gibt, die im betroffenen formalen System nicht beweisbar sind (hier nur abzählbar viele Aussagen, für mich sind das aber auch schon wesentlich mehr als ein paar). Schon immer war klar, dass man in endlicher Zeit nur endlich viele interessante Dinge tun kann. Wir wissen aber dank Gödel, dass wir auch in unendlich langer Zeit nicht alles interessante wissen werden. Es gibt Mathematiker, die sich über die Unvollständigkeitssätze freuen, weil damit sichergestellt ist, dass Mathematiker niemals die gesamte Mathematik erschöpfen können, es wird uns und unseren Nachfolgern niemals langweilig werden. smile
Fürchte dich nicht, alles wird gut.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Wie in jedem guten Diagonalargument kann man aus dem Unvollständigkeitssatz schließen, dass es unendlich viele wahre Aussagen gibt, die im betroffenen formalen System nicht beweisbar sind


Jesus Christus, du hast Recht. traurig

Nochmal für mein Verständnis: Wenn ein Kalkül widersprüchlich ist, dann kann man p & ~p herleiten und weil p & ~p nicht beide wahr sein können, wüßte man, dass man in einem widersprüchlichen Kalkül mind. eine falsche Aussage herleiten kann, richtig?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du schon deinen Pastor gefragt, wie sich das mit der Dreieinigkeit verträgt ?

Axiom 1: mia ousia :
Axiom 2: Arithmetik :
Axiom 3: treis hypostaseis :



Na und ? Stört das noch irgend jemanden ? Ganz offensichtlich sind das 2 prima Wahrheiten für 2.280.000.000 Menschen im Jahre 2010. https://de.statista.com/statistik/daten/...ach-religionen/

Davon geht die Welt nicht unter / Sieht man sie manchmal auch grau / Einmal wird sie wieder bunter / Einmal wird sie wieder himmelblau…
siehe hier ab 1:10 https://www.youtube.com/watch?v=p8D126NPTrU
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