beschränkte Menge

29.10.2017, 17:21

Boggie23

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beschränkte Menge

Hallo,
folgende Aufgabe ist gegeben:

Untersuchen Sie, ob die Menge A = {x=mn/(m^2+n^2) } mit m,n aus den natürlichen Zahlen:
in den reellen Zahlen nach oben oder unten beschränkt ist und geben Sie, falls existent, das Supremum
und das Infimum an.

Meine Ideen: Ich weis nicht, ob ich für m und n gleiche Zahlen einsetzen darf. Wenn ja dann wäre für n=m : n^2/2n^2=1/2. Das könnte eine obere Schranke sein.
Für alle Zahlen n ungleich m ist ist die Menge immer kleiner gleich 1/2. Gibt es da irgendeinen Trick eine untere Schranke zu sehen.

29.10.2017, 17:54

Leopold

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RE: beschränkte Menge

Zitat:

Original von Boggie23
Für alle Zahlen n ungleich m ist ist die Menge immer kleiner gleich 1/2.

Und warum ist das so?

Zitat:

Original von Boggie23
Gibt es da irgendeinen Trick eine untere Schranke zu sehen.

Positive Zahlen sind immer durch 0 beschränkt.

Vielleicht ein Hinweis:

$\begin{align*} \frac{mn}{m^2 + n^2} = \frac{1}{\frac{m}{n} + \frac{n}{m}} = \frac{1}{x + \frac{1}{x}} \ \ \text{mit} \ \ x = \frac{m}{n} \end{align*}$

Jetzt studiere die reelle Funktion $\begin{align*} x \mapsto x + \frac{1}{x} \, , \ x>0 \end{align*}$ (Monotonieverhalten).

29.10.2017, 18:07

Boggie23

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RE: beschränkte Menge

Zitat:

Original von Leopold
[quote]Original von Boggie23
Für alle Zahlen n ungleich m ist ist die Menge immer kleiner gleich 1/2.

Und warum ist das so?

Wenn man n=m setzt folgt doch x=1/2. Ist das nicht der Grund? verwirrt

verwirrt

Also die Funktion f(x)=1/x +x geht für x gegen unendlich gegen unendlich.
Für x gegen - unendlich gegen - unendlich.
Also geht insgesamt der Bruch gegen 0.
Allerdings haben wir den Begriff der Monotonie noch nicht eingeführt. Kann man die beschränktheit durch 0 anders sehen?

30.10.2017, 08:15

Boggie23

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RE: beschränkte Menge
Kann mir jmd bitte weiterhelfen ?

30.10.2017, 08:31

Leopold

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RE: beschränkte Menge

Zitat:

Original von Boggie23
Wenn man n=m setzt folgt doch x=1/2. Ist das nicht der Grund? verwirrt

verwirrt

Ich kann hierin keinerlei Argumentation für das "kleiner" erkennen. Warum sollte der Term nicht auch Werte größer 1/2 annehmen? Du mußt das begründen, nicht einfach nur feststellen.

Eine Begründungsmöglichkeit habe ich dir genannt, nämlich die Untersuchung der reellen Funktion $\begin{align*} x \mapsto x + \frac{1}{x} \end{align*}$ mit $\begin{align*} x>0 \end{align*}$ . Wie du allerdings vorgehst, ergibt es keinen Sinn:

Zitat:

Original von Boggie23
Also die Funktion f(x)=1/x +x geht für x gegen unendlich gegen unendlich.
Für x gegen - unendlich gegen - unendlich.
Also geht insgesamt der Bruch gegen 0.

Für $\begin{align*} x \end{align*}$ kommen nur positive Zahlen in Frage. Du läßt aber $\begin{align*} x \end{align*}$ gegen $\begin{align*} - \infty \end{align*}$ streben und gehst dabei über die Definitionslücke bei $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ einfach so hinweg. Dabei ist die Idee, das Randverhalten der stetigen Funktion zu untersuchen, gar nicht schlecht. Nur mußt du $\begin{align*} x \to 0 \end{align*}$ mit $\begin{align*} x>0 \end{align*}$ und $\begin{align*} x \to \infty \end{align*}$ betrachten. Dies zeigt dir die Existenz eines Minimums. Mit Differentialrechnung kannst du das Minimum berechnen. Daß es sich an der Stelle $\begin{align*} x=1 \end{align*}$ befindet, an der sich die Rollen der Summanden $\begin{align*} x \end{align*}$ und $\begin{align*} \frac{1}{x} \end{align*}$ vertauschen, verwundert nicht. Man erhält 2 als Wert. Die Ungleichung

$\begin{align*} x + \frac{1}{x} \geq 2 \end{align*}$

läßt sich auch ganz ohne Differentialrechnung direkt zeigen. Forme äquivalent um, bis du ein Binom erkennst. Ja, du könntest sogar

$\begin{align*} \frac{mn}{m^2 + n^2} \leq \frac{1}{2} \end{align*}$

in entsprechender Weise durch Äquivalenzumformungen direkt nachweisen. Alle Zutaten für ein Binom der Art $\begin{align*} m^2 \pm 2mn + n^2 \end{align*}$ liegen schon bereit.

30.10.2017, 08:52

Boggie23

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RE: beschränkte Menge
Aso jetzt verstehe ich es schon besser smile

smile

Das mit der Grenzwertbetrachtung für x gegen - unendlich war mein Fehler. Ich hatte egtl gemeint. Für x gegen 0 geht die Funktion gegen -unendlich. Tut mir leid.
Mir geht es jetzt um den Beweis, dass 1/2 die kleinste obere Schranke ist.
Also dazu muss ich wie du sagst die Gleichung
$\begin{align*} \frac{mn}{m^2 + n^2} \leq \frac{1}{2} \end{align*}$ äquivalent umformen.
Wenn ich 2 mulzipliziere habe ich den Mittelteil des Binoms im Zähler. Aber das hilft ja nicht. Ich muss ja auf eine wahre Aussage kommen für alle n,m aus den natürlichen Zahlen. Wie forme ich da am besten um?

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30.10.2017, 08:58

Leopold

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RE: beschränkte Menge

Zitat:

Original von Boggie23
Das mit der Grenzwertbetrachtung für x gegen - unendlich war mein Fehler. Ich hatte egtl gemeint. Für x gegen 0 geht die Funktion gegen -unendlich.

Das stimmt aber ebensowenig.

Zitat:

Original von Boggie23
Wie forme ich da am besten um?

$\begin{align*} \frac{A}{B} \leq \frac{C}{D} \ \ \Leftrightarrow \ \ AD \leq BC \ \ \Leftrightarrow \ \ BC - AD \geq 0 \end{align*}$

Die Äquivalenzen sind gültig, falls $\begin{align*} B,D>0 \end{align*}$ sind.

30.10.2017, 09:05

Boggie23

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RE: beschränkte Menge
Für x gegen 0 gegen + unendlich. Jetzt aber Big Laugh

Big Laugh

Die Rechnung hätte ich so gemacht:
Vllt so:
Wenn ich mit m^2 +n^2 multipliziere, erhalte ich
mn =< 1/2(m^2+n^2)
Jetzt subtrahiere ich mn
Dann steht da:
0=<1/2(m^2+n^2) -mn
Das ist dann 0=<1/2(m-n)^2
Das ist eine wahre Aussage. Reicht das als Beweis für das Supremum ?

30.10.2017, 09:23

Leopold

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RE: beschränkte Menge

Zitat:

Original von Boggie23
Wenn ich mit m^2 +n^2 multipliziere, erhalte ich
mn =< 1/2(m^2+n^2)
Jetzt subtrahiere ich mn
Dann steht da:
0=<1/2(m^2+n^2) -mn
Das ist dann 0=<1/2(m-n)^2
Das ist eine wahre Aussage.

Jetzt würde ich darauf verweisen, daß alle Umformungen Äquivalenzumformungen waren, also umkehrbar sind. Mit der letzten Aussage ist also auch die erste wahr. Auch ist bei der Multiplikation mit $\begin{align*} m^2 + n^2 \end{align*}$ zu beachten, daß dieser Ausdruck stets positiv ist. Deswegen bleibt das Ungleichheitszeichen erhalten. (Aus ästhetischen Gründen würde ich auch gleich mit 2 durchmultiplizieren.)

Zitat:

Original von Boggie23
Reicht das als Beweis für das Supremum ?

Nein. Du hast vorerst nur gezeigt, daß $\begin{align*} \frac{1}{2} \end{align*}$ eine obere Schranke ist. Es ist aber leicht zu zeigen, daß dies die kleinste obere Schranke sein muß. Eigentlich hast du die Begründung dafür, ohne es zu beabsichtigen, schon in deinem ersten Beitrag genannt.

30.10.2017, 09:46

Boggie23

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RE: beschränkte Menge
Also egtl muss ich doch zeigen, dass für keine Zahl m<s eine obere Schranke von A sein kann. Ich nehme also dieses m und zeige, dass es dafür ein y element A gibt mit y>m. Wo habe ich das schon irgendwie gezeigt?

30.10.2017, 09:50

Leopold

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Zitat:

Original von Boggie23
Meine Ideen: Ich weis nicht, ob ich für m und n gleiche Zahlen einsetzen darf. Wenn ja dann wäre für n=m : n^2/2n^2=1/2. Das könnte eine obere Schranke sein.

30.10.2017, 09:52

Boggie23

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Und warum zeigt das, dass 1/2 die kleinste Schranke ist?

30.10.2017, 09:57

Leopold

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Da könntest du aber auch einmal selber drauf kommen.

30.10.2017, 10:07

Boggie23

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Ich habe gezeigt für alle n,m aus N ist 1/2 kleiner gleich meiner Menge. also ist dann 1/2 die kleinste obere Schranke und sogar ein Maximum.

30.10.2017, 10:39

Boggie23

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Für die Beschränktheit durch 0 muss ich nachweisen. $\begin{eqnarray*} 0<\frac{mn}{m^2+n^2} \end{eqnarray*}$ daraus folgt $\begin{eqnarray*} 0<1 \end{eqnarray*}$ Also kann ich von 0<1 ausgehen und durch Äquivalenzumformungen auf $\begin{eqnarray*} 0<\frac{mn}{m^2+n^2} \end{eqnarray*}$ kommen.

Jetzt muss ich noch zeigen, dass für ein $\begin{eqnarray*} y>0 \exists x \in A : x<y \end{eqnarray*}$

Sei nun y>0 beliebig. Ich muss ein x finden, sodass $\begin{eqnarray*} y>x=\frac{MN}{M^2+N^2} \end{eqnarray*}$ , wobei M und N konkrete Elemente der Menge A sind. Jetzt weis ich nicht wie es weiter geht. Vllt hilft M und N irgendwie zusammenzufassen, weil es ja alle natürliche Zahlen sind. Die Frage ist wie?

30.10.2017, 10:55

Leopold

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Zitat:

Original von Boggie23
Ich habe gezeigt für alle n,m aus N ist 1/2 kleiner gleich meiner Menge.

Nein, umgekehrt: Du hast gezeigt, daß jedes Element deiner Menge kleiner oder gleich 1/2 ist.

Zitat:

Original von Boggie23
also ist dann 1/2 die kleinste obere Schranke und sogar ein Maximum.

Nichts mit "also"! Du hast noch nicht gezeigt, daß 1/2 die kleinste obere Schranke ist. Du hast nur gezeigt, daß 1/2 eine obere Schranke ist. Da du nicht selber darauf kommst, hier die Argumentation, warum 1/2 die kleinste obere Schranke ist: In der Menge liegt für $\begin{align*} m = n = 30102017 \end{align*}$ das Element $\begin{align*} \frac{1}{2} \end{align*}$ . Da es Elemente der Menge gibt, die genau den Wert der gefundenen oberen Schranke haben, muß diese Schranke die kleinste obere Schranke sein.

Zitat:

Original von Boggie23
Für die Beschränktheit durch 0 muss ich nachweisen. $\begin{eqnarray*} 0<\frac{mn}{m^2+n^2} \end{eqnarray*}$ daraus folgt $\begin{eqnarray*} 0<1 \end{eqnarray*}$ Also kann ich von 0<1 ausgehen und durch Äquivalenzumformungen auf $\begin{eqnarray*} 0<\frac{mn}{m^2+n^2} \end{eqnarray*}$ kommen.

Welch ein Aufwand für eine Banalität! Die positiven reellen Zahlen sind gegenüber der Addition, Multiplikation und Division abgeschlossen. Also ist $\begin{align*} \frac{mn}{m^2 + n^2} \end{align*}$ offensichtlich positiv. Und damit ist 0 eine untere Schranke. Jetzt mußt du noch nachweisen, daß es die größte untere Schranke ist. Zeige, daß es beliebig nahe bei 0 Elemente der Menge gibt.

Zitat:

Original von Boggie23
Jetzt muss ich noch zeigen, dass für ein $\begin{eqnarray*} y>0 \exists x \in A : x<y \end{eqnarray*}$

Sei nun y>0 beliebig. Ich muss ein x finden, sodass $\begin{eqnarray*} y>x=\frac{MN}{M^2+N^2} \end{eqnarray*}$ , wobei M und N konkrete Elemente der Menge A sind. Jetzt weis ich nicht wie es weiter geht. Vllt hilft M und N irgendwie zusammenzufassen, weil es ja alle natürliche Zahlen sind. Die Frage ist wie?

Was du damit sagen willst, erschließt sich mir nicht.

30.10.2017, 11:07

Boggie23

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Danke jetzt habe ich das mit der kleinsten oberen Schranke verstanden smile

smile

Zitat:

Zeige, daß es beliebig nahe bei 0 Elemente der Menge gibt.

Das will ich doch gerade zeigen: Für ein beliebiges y>0 ein x aus der Menge A gibt, dass dazwischen ist. Also x<y.

Mein ansatz stimmt nicht. Wie kann ich es dann machen? verwirrt

verwirrt

30.10.2017, 11:21

Leopold

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Zitat:

Original von Boggie23
Das will ich doch gerade zeigen: Für ein beliebiges y>0 ein x aus der Menge A gibt, dass dazwischen ist. Also x<y.

Richtig, da habe ich in der Eile nicht sorgfältig gelesen. Ich bitte um Entschuldigung.

Nun, du kannst doch speziell $\begin{align*} m=1 \end{align*}$ wählen, also die Elemente

$\begin{align*} x_n = \frac{n}{n^2+1} \end{align*}$

betrachten. Deren Grenzwert für $\begin{align*} n \to \infty \end{align*}$ ist 0. Ob du das mit der $\begin{align*} \varepsilon \end{align*}$ -Definition noch zeigen mußt oder aber einfach so annehmen darfst, weiß ich nicht. Jedenfalls spielt das $\begin{align*} \varepsilon \end{align*}$ die Rolle deines $\begin{align*} y \end{align*}$ .

30.10.2017, 11:35

Boggie23

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Warum darf ich das m=1 setzen. Wie sehe ich das?

30.10.2017, 11:39

Leopold

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Zitat:

Original von Boggie23
Warum darf ich das m=1 setzen.

Gegenfrage: Warum nicht?

Zitat:

Original von Boggie23
Wie sehe ich das?

Das weiß ich nicht. Ich habe es jedenfalls deshalb genommen, weil es nützt.

30.10.2017, 12:40

Boggie23

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Mir fehlt auch kein Grund ein, warum man das nicht darf. Dann nehme ich es an.
Leider haben wir den Grenzwert noch nicht eingeführt.
Kann ich vllt dieses x_n so umformen, dasss ich dann irgendeinen Ausdruck habe, der größer ist als 1/n und dann das archimedische Axiom anwenden?

30.10.2017, 12:47

Leopold

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$\begin{align*} x_n = \frac{n}{n^2 + 1} \leq \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n} \end{align*}$

Jetzt sei $\begin{align*} y = \varepsilon > 0 \end{align*}$ . Du mußt jetzt nur eine ganze Zahl $\begin{align*} n_0 > \frac{1}{\varepsilon} \end{align*}$ nehmen. Für diese gilt dann

$\begin{align*} x_{n_0} < \varepsilon \end{align*}$

30.10.2017, 13:06

Boggie23

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Aso

smile

Also nochmal:
Ich muss ein $\begin{eqnarray*} y>0 \exists x : x<y \end{eqnarray*}$ .
D.h für y beliebig gilt dann: $\begin{eqnarray*} y>x=\frac{MN}{M^2+N^2} \end{eqnarray*}$ M und N sind konkrete Elemente aus A für die die Ungleichung gelten soll.

Also sei dann M=1 dann folgt: $\begin{eqnarray*} y>\frac{N}{N^2+1} \end{eqnarray*}$ Dann folgt $\begin{eqnarray*} y>\frac{N}{N^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y>\frac{1}{N} \end{eqnarray*}$ Das archimedische Axiom garantiert dassman ein passendes N finden, da nach dem archimedischen Axiom der Bruch 1/N kleiner als jede positive reelle Zahl ist.

Die Frage ist, ob ich mittendrin so abschätzen darf oder ob alles das einfach nur Käse ist verwirrt

verwirrt

verwirrt

30.10.2017, 13:44

Leopold

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Du schreibst immer wieder "folgt, gilt dann, folgt, gilt dann, ...", auch wenn das Betreffende gar keine Folge ist, sondern vorausgesetzt wird. Und weil sich die Beweisrichtungen im Text dauernd umkehren, ist das am Schluß keine gültige Argumentationslinie mehr.

Und so geht das:

Man gibt sich ein $\begin{align*} y>0 \end{align*}$ vor. Dann nimmt man gemäß dem archimedischen Axiom eine positive ganze Zahl $\begin{align*} N \end{align*}$ mit $\begin{align*} N > \frac{1}{y} \end{align*}$ . (Umgekehrt heißt das für später: $\begin{align*} \frac{1}{N} < y \end{align*}$ ). Jetzt betrachtet man in der Menge $\begin{align*} A \end{align*}$ das folgende spezielle Element:

$\begin{align*} x_N = \frac{N \cdot 1}{N^2 + 1^2} \end{align*}$

Für dieses gilt, indem man den Nenner nach unten durch $\begin{align*} N^2 \end{align*}$ abschätzt:

$\begin{align*} x_N < \frac{N}{N^2} = \frac{1}{N} \end{align*}$

Nach der Wahl von $\begin{align*} N \end{align*}$ ist der letzte Ausdruck aber kleiner als $\begin{align*} y \end{align*}$ . Zusammen also:

$\begin{align*} x_N < \frac{1}{N} < y \end{align*}$

Zu diesem $\begin{align*} y>0 \end{align*}$ haben wir also ein Element $\begin{align*} x_N \in A \end{align*}$ gefunden, das kleiner als $\begin{align*} y \end{align*}$ ist. Dieses $\begin{align*} y>0 \end{align*}$ kann also keine untere Schranke von $\begin{align*} A \end{align*}$ sein.

Die Argumentation oben läßt sich für jedes irgendwie gewählte $\begin{align*} y>0 \end{align*}$ durchführen. Also ist kein $\begin{align*} y>0 \end{align*}$ eine untere Schranke von $\begin{align*} A \end{align*}$ .

0 ist aber untere Schranke von $\begin{align*} A \end{align*}$ . Damit ist 0 das Infimum der Menge $\begin{align*} A \end{align*}$ .

Achte in der obigen Argumentation darauf, wann welche Größe eingeführt wird, wann welche Abschätzung vorgenommen wird und in welcher Reihenfolge die einzelnen Dinge angeführt werden. Nur so entsteht ein sinnvoller mathematischer Text.

30.10.2017, 13:50

Boggie23

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Vielen Dank Leopold. Jetzt habe ich es verstanden. Ich muss natürlich noch an meiner Struktur arbeiten. Das werde ich auch tun Freude

Freude

smile

Zitat:

Die Argumentation oben läßt sich für jedes irgendwie gewählte y>0 durchführen. Also ist kein y>0 eine untere Schranke von A.

D.h ich könnte das ganze auch mit n=1 und m dann so wählen, wie in dem Beweis. Das erklärt vllt das Setzen von m=1 oder?

30.10.2017, 14:21

Leopold

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Jemand glaubt, $\begin{align*} 0{,}001 \end{align*}$ sei eine untere Schranke der Menge $\begin{align*} A \end{align*}$ . (Wir bilden im Kopf heimlich den Kehrwert und wählen eine Zahl größer als 1000, sagen wir 2000.)

Wir fragen ihn, ob er wisse, daß alle Elemente der Menge von der Form $\begin{align*} \frac{mn}{m^2 + n^2} \end{align*}$ seien, wo $\begin{align*} m,n \end{align*}$ natürliche Zahlen sind.

Klar wisse er das.

Dann sei doch auch das Element $\begin{align*} \frac{2000 \cdot 1}{2000^2 + 1^2} \end{align*}$ ein Element von $\begin{align*} A \end{align*}$ , nicht wahr?

Logisch, meint er.

Jetzt möge er das doch einmal ausrechnen: $\begin{align*} \frac{2000 \cdot 1}{2000^2 + 1^2} = 0{,}00049999987500003 \ldots \end{align*}$ . Ob er weiter bei seiner Meinung beharre, daß $\begin{align*} 0{,}001 \end{align*}$ eine untere Schranke der Menge sei?

Da müsse er sich wohl korrigieren, meint er.

30.10.2017, 15:04

Boggie23

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haha nette geschichte smile

smile

Big Laugh

Ok jetzt sehe ich, dass es keinen Unterschied macht. Ich muss diese setzung von m auch nicht begründen oder?

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