Limes von Integral

29.10.2017, 17:57

alina94

Limes von Integral

Hey,

ich versuche mich gerade an einer älteren Übungsaufgabe, und zwar gilt es u.A. zu zeigen, dass für $\begin{eqnarray*} \Omega \subseteq \mathbb{R} ^n \end{eqnarray*}$ offen, $\begin{eqnarray*} 0 < \lambda < n+2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \in C^\infty(\overline{\Omega}) \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{r \rightarrow 0}{\frac{1}{r^\lambda} \int_{B_r(x)} \! |f - \frac{1}{L^n(B_r(x))}\int_{B_r(x)} \! fdz |^2 \, dy} = 0 \end{eqnarray*}$

Anschaulich klingt das erst einmal einleuchtend, der zweite Term im Betrag ist schließlich eine Art Mittelwert von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , weshalb das äußere Integral wohl sehr klein wird. Momentan versuche ich irgendwie mit dem Lebesgue differentiation theorem weiterzukommen, aber einen wirklichen Ansatz habe ich noch nicht. Ich wäre auf jeden Fall super dankbar für jeden Tipp oder Ansatz smile

29.10.2017, 18:18

IfindU

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RE: Limes von Integral
Eine Möglichkeit wäre Substitution auf ein festes Gebiet und dann die Poincare Ungleichung anzuwenden.

30.10.2017, 16:03

alina94

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RE: Limes von Integral

Zitat:

Original von IfindU
Eine Möglichkeit wäre Substitution auf ein festes Gebiet und dann die Poincare Ungleichung anzuwenden.

Danke für die Antwort! Ich bin mir nicht sicher, wie du das mit dem festen Gebiet meinst, bzgl $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ muss das Ganze am Ende ja so oder so verändert werden, nur in Bezug auf $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ könnte man das Gebiet fest wählen, was aber meiner Meinung nach mit dem Ansatz nicht nötig wäre, die Poincaré Ungl. (bei verschwindendem Mittelwert) liefert insbesondere:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{r^\lambda} \int_{B_r(x)} \! |f - \frac{1}{L^n(B_r(x))} \int_{B_r(x)}\! f \, dz |^2 \, dy \leq c r^2 \int_{B_r(x)}\! |\nabla f|^2 \, dy \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ unabhängig von $\begin{eqnarray*} B_r(x) \end{eqnarray*}$ und das ergibt dann eine Abschätzung in der Art

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{r^\lambda} \int_{B_r(x)} \! |f - \frac{1}{L^n(B_r(x))} \int_{B_r(x)}\! f \, dz |^2 \, dy \leq c(n) \frac{r^{n+2}}{r^\lambda} \sup\limits_{y \in B_r(x)}|\nabla f(y)|^2 \end{eqnarray*}$ ,

was wegen $\begin{eqnarray*} \lambda < n +2 \end{eqnarray*}$ gegen null geht. Kann man das so sagen?

30.10.2017, 16:11

IfindU

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RE: Limes von Integral
Den Faktor $\begin{eqnarray*} \frac 1 {r^\lambda} \end{eqnarray*}$ hast du ausversehen drin gelassen bei der ersten Ungleichung. Und genau das hatte ich im Kopf. Bloss hatte ich an die "primitivere" Fassung von Poincare Fassung gedacht, bei der du in der ersten Ungleichung ein $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ bekämst, was von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ UND $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ abhängt. Man hätte dann durch Substitution zeigen können, dass die Konstante $\begin{eqnarray*} c(n,r) = r^2 c(n, 1) \end{eqnarray*}$ ist.

Wenn du das schon weißt, ist Subsitution natürlich überflüssig. Zusammenfassend: Richtig Freude

Edit: Vielleicht etwas ausführlicher. Ich wollte $\begin{eqnarray*} g_r(x) = f(rx) \end{eqnarray*}$ wählen. Dann hätte man
$\begin{eqnarray*} r^n \int_{B_1(x)} \! |g_r - \frac{1}{L^n(B_1(x))} \int_{B_1(x)}\! g_r \, dz |^2 \, dy \leq c r^n \int_{B_1(x)}\! |\nabla ( g_r) |^2 \, dy \end{eqnarray*}$ gehabt. Mit $\begin{eqnarray*} \nabla ( g_r) = r (\nabla f)(rx) \end{eqnarray*}$ also
$\begin{eqnarray*} r^n \int_{B_1(x)} \! |f(ry) - \frac{1}{L^n(B_1(x))} \int_{B_1(x)}\! f(rz) \, dz |^2 \, dy \leq c r^{n+2} \int_{B_1(x)}\! | (\nabla f)(ry) |^2 \, dy \end{eqnarray*}$ .

Das hätte man also abschätzen können. Jetzt durch $\begin{eqnarray*} r^\lambda \end{eqnarray*}$ teilen und $\begin{eqnarray*} r\to 0 \end{eqnarray*}$ .

31.10.2017, 19:00

alina94

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RE: Limes von Integral

Zitat:

Original von IfindU
Den Faktor $\begin{eqnarray*} \frac 1 {r^\lambda} \end{eqnarray*}$ hast du ausversehen drin gelassen bei der ersten Ungleichung. Und genau das hatte ich im Kopf. Bloss hatte ich an die "primitivere" Fassung von Poincare Fassung gedacht, bei der du in der ersten Ungleichung ein $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ bekämst, was von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ UND $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ abhängt. Man hätte dann durch Substitution zeigen können, dass die Konstante $\begin{eqnarray*} c(n,r) = r^2 c(n, 1) \end{eqnarray*}$ ist.

Wenn du das schon weißt, ist Subsitution natürlich überflüssig. Zusammenfassend: Richtig Freude

Alles klar, danke nochmal!

Was mir jetzt noch zu zeigen bleibt, ist dass im Fall $\begin{eqnarray*} \lambda \neq n \end{eqnarray*}$ die Funktion $\begin{eqnarray*} f(y):= |y|^{\frac{\lambda - n}{2} } \end{eqnarray*}$ obige Gleichheit für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ nicht erfüllt. Ich habe versucht zunächst mit Hölder zu argumentieren, um das Quadrat im Integral loszuwerden,

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{r^\lambda} \int_{B_r(0)}\! \left||y|^{\frac{\lambda - n}{2} } - \frac{1}{L^n(B_r(0))}\int_{B_r(0)} \! |\xi|^{\frac{\lambda - n}{2} } \, d\xi \right|^2 \, dy \\ =\frac{1}{r^\lambda}\frac{1}{L^n(B_r(0))} \left| \left |\int_{B_r(0)}\! ||y|^{\frac{\lambda - n}{2} } - \frac{1}{L^n(B_r(0))}\int_{B_r(0)} \! |\xi|^{\frac{\lambda - n}{2} } \, d\xi \right| \right|_{L^2(B_r(0))}^2 \left| \left| 1 \right| \right|_{L^2(B_r(0))}^2 \\ \geq \frac{1}{r^\lambda}\frac{1}{L^n(B_r(0))} \left(\int_{B_r(0)} \! |y|^{\frac{\lambda - n}{2} } - \frac{1}{L^n(B_r(0))}\int_{B_r(0)} \! |\xi|^{\frac{\lambda - n}{2} } \, d\xi \, dy \right)^2 \end{eqnarray*}$

aber ich fürchte das macht es eigentlich nur komplizierter. Hättest du oder jemand anderes da vielleicht nochmal einen Tipp?

31.10.2017, 19:50

IfindU

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RE: Limes von Integral
Das ist eine radialsymmetrische Funktion, auf einem radialsymmetrischen Gebiet. Man kann also mit Polarkoordinaten die ganzen Integrale zu eindimensionalen Integralen ersetzen und dann explizit ausrechnen.

01.11.2017, 15:39

alina94

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Ah natürlich, vielen Dank nochmal smile

Das würde dann so in der Art aussehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{r^\lambda} \int_{B_r(0)}\! \left| |x|^{\frac{\lambda - n}{2} }- \frac{1}{L^n(B_r(0))} \int_{B_r(0)} \! |y|^{\frac{\lambda - n}{2} } \, dy \right|^2 \, dx = \frac{1}{r^\lambda} \int_{B_r(0)}\! \left| |x|^{\frac{\lambda - n}{2} }- \frac{1}{L^n(B_r(0))} L^{n-1}(S^{n-1}) \int_{0}^{r} \! |\rho|^{\frac{\lambda - n}{2} }\rho^{n-1} \, dy \right|^2 \, dx \\ = \frac{1}{r^\lambda} \int_{B_r(0)}\! \left| |x|^{\frac{\lambda - n}{2} }- \frac{1}{L^n(B_r(0))} L^{n-1}(S^{n-1}) \frac{2}{\lambda + n } r^{\frac{\lambda + n}{2}} \right|^2 \, dx = \frac{1}{r^\lambda}L^{n-1}(S^{n-1}) \int_{0}^{r}\! \left| |\rho|^{\frac{\lambda - n}{2} }- \frac{L^{n-1}(S^{n-1})}{L^n(B_r(0))} \frac{2}{\lambda + n } r^{\frac{\lambda + n}{2}} \right|^2 \rho^{n-1} \, d\rho \\ = \frac{1}{r^\lambda}L^{n-1}(S^{n-1})\int_{0}^{r} \! \rho^{n-1} \left| \rho^{\lambda - n} -\frac{4}{\lambda + n -1}\frac{L^{n-1}(S^{n-1})}{L^n(B_r(0))} \rho^{\frac{\lambda - n}{2} }r^{\frac{\lambda + n}{2} }+ \frac{4}{(\lambda + n -1)^2} \frac{L^{n-1}(S^{n-1})^2}{L^n(B_r(0))^2}r^{\lambda + n} \right| \, d\rho \\ = \frac{1}{r^\lambda}L^{n-1}(S^{n-1})\int_{0}^{r} \! \left| \rho^{\lambda - 1} -\frac{4}{\lambda + n -1}\frac{L^{n-1}(S^{n-1})}{L^n(B_r(0))} \rho^{\frac{\lambda + n - 2}{2} }r^{\frac{\lambda + n}{2} }+ \frac{4}{(\lambda + n -1)^2} \frac{L^{n-1}(S^{n-1})^2}{L^n(B_r(0))^2} r^{\lambda + n} \rho^{n-1}\right| \, d\rho \\ = \frac{1}{r^\lambda}L^{n-1}(S^{n-1}) \left| \frac{1}{\lambda} r^\lambda -\frac{4}{\lambda + n -1}\frac{L^{n-1}(S^{n-1})}{L^n(B_r(0))}\frac{2}{\lambda + n} r^{\lambda + n} + \frac{4}{(\lambda + n -1)^2} \frac{L^{n-1}(S^{n-1})^2}{L^n(B_r(0))^2}\frac{1}{n} r^{\lambda +2n} \right| \\ = L^{n-1}(S^{n-1}) \left| \frac{1}{\lambda} - \frac{4}{\lambda + n -1}\frac{L^{n-1}(S^{n-1})}{c(n)}\frac{2}{\lambda + n} + \frac{4}{(\lambda + n -1)^2} \frac{L^{n-1}(S^{n-1})^2}{c(n)^2}\frac{1}{n} \right| \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} L^{n-1} (S^{n-1}) \end{eqnarray*}$ den Inhalt der Einheitssphäre im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ bezeichnet (schreibt man das so? bin mir gerade unsicher). Das ist unabhängig von $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und kann dementsprechend nicht gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ gehen. Sorry, ich bekomme es gerade nicht hin das schöner aufzuschreiben, aber ich glaube damit hab ichs.

01.11.2017, 15:51

IfindU

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Ich hab nur den Anfang der Rechnung gecheckt, und das sieht gut aus. Beim letzten Integral bin ich mir aber unsicher, ob du den Betrag nicht einfach ignoriert hast.

Paar allgemeinere Kommentare:
$\begin{eqnarray*} \mathcal H^{n-1}( S^{n-1}) \end{eqnarray*}$ ist der Oberflächeninhalt der Einheitsspähre, $\begin{eqnarray*} \mathcal L^{n-1}( S^{n-1}) \end{eqnarray*}$ ist nicht definiert. Man kann außerdem leicht sehen, dass $\begin{eqnarray*} \frac { \mathcal H^{n-1}( S^{n-1}) }{ \mathcal L^n(B_1)} = n \end{eqnarray*}$ ist. Dann muss man nicht so viel schreiben.

Und zum leserlichen Aufschreiben:
Du musst nicht alles immer zusammen aufschreiben. Du könntest anfangen mit dem Auswerten von
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\mathcal L^n(B_r(0))} \int_{B_r(0)} \! |y|^{\frac{\lambda - n}{2} } \, dy = \ldots = \frac{1}{\mathcal L^n(B_r(0))} \mathcal H^{n-1}(S^{n-1}) \frac{2}{\lambda + n } r^{\frac{\lambda + n}{2}} = \frac{2n}{\lambda + n } r^{\frac{\lambda + n}{2}} \end{eqnarray*}$ .

Und das dann einsetzen. Es macht relativ wenig Sinn jede Menge Terme ständig mitzuschleppen, wenn deren An- oder Abwesenheit absolut nichts ändert. Es macht es nur schwieriger überhaupt rauszufinden was gerade im Schritt passiert, also wo sich etwas geändert hat.

02.11.2017, 20:48

alina94

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Bei dem Betrag hast du glaube ich Recht, das scheine ich gestern übersehen zu haben, aber das ändert am Ende ja glaube ich nicht mehr viel. Ich werde es mir die Tage noch einmal genauer durchsehen. Danke auf jeden Fall smile

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