Quotientengruppen und Isomorphismen.

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Lauraline Auf diesen Beitrag antworten »
Quotientengruppen und Isomorphismen.
Meine Frage:
Guten Abend zusammen!

Ich sitze gerade an folgender Aufgabe:

Aufgabe: Wir bezeichnen mit die additive Untergruppe aller komplexen Zahlen der Form . Zeige:
1) Es existiert ein Isomorphismus von additiven Gruppen .

2) Es existiert ein Isomorphismus von Gruppen , wobei wir als Gruppe bezüglich der Multiplikation auffassen. (Hinweis: Betrachte mit , Homomorphiesatz)



Meine Ideen:
zu 1)
Ich habe leider noch große Lücken in der Gruppentheorie und habe deshalb auch noch nicht ganz verstanden wie solch ein Element aus der Quotientengruppe aussieht. Laut Definition von Nebenklassen, müsste die Menge ja wie folgt aussehen: oder nicht?

Vielleicht könnte mir auch jemand mal (für dumme) erklären welche Elemente da jetzt wirklich drin stecken, sodass ich besser verstehen kann, welchen Isom. ich suche, also von welcher Menge aus ich abbilde...




zu 2)
Der Homomorphiesatz besagt ja:
Ist f: (G,*) -> (H,*) ein Gruppenhomomorphismus, dann ist der Kern N:=ker(f) ein Normalteiler von G und die Faktorgruppe G/N ist isomorph zum Bild f(G). Ein entsprechender Isomorphismus ist gegeben durch f': G/N -> f (G) ; gN -> f(g).

Da ich schon weiß das die Betragsfunktion ein Gruppenhomomorphismus für und die Exponentialfunktion ein Gruppenhom. für (aus Beispielen im Skript), könnte ich hieraus folgern das diese zusammen auch wieder ein Gruppenhom. sind auf ?
Denn dann müsste ich ja nur noch zeigen das
ist und ich hätte die Aussage mittels diesem Satz bewiesen oder nicht ?


Freue mich über jegliche Hilfe! smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Bei (1) geht es um additive Gruppen, also ist . Das stelle ich mir geometrisch als die senkrechten Geraden in der komplexen Ebene vor. Die addiere ich einfach, indem ich ihre Realteile addiere.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo lauraline,

es geht ja um additive Untergruppen bzw. Quotientengruppen, also wohl eher

.

Die Elemente darin sind, anschaulich gesprochen, alle vertikalen Geraden der komplexen Zahlenebene- jeweils repräsentiert durch ein beliebiges Element z: Denn wenn man einen solchen Punkt z der komplexen Zahlenebene kennt und weiß, dass die Gerade vertikal von oben nach unten verläuft, kennt man ja bereits die ganze Gerade.

Die 'Addition' dieser Geraden dürfte hier sogar ganz 'kanonisch' erfolgen, also {Gerade durch 1} + {Gerade durch 1} = {Gerade durch 2}, usw.

Für die Aufgabe 1 wäre glaube ich zunächst wichtig:
-> Für welche komplexen Zahlen z, w gilt z+i|R=w+i|R? In welcher Hinsicht dürfen sich z, w noch unterscheiden, was müssen sie gemeinsam haben? (das führt im Wesentlichen auf die Überlegung von oben, mit den Geraden)
-> Auf welche reelle Zahl könnte ein Isomorphismus die komplexe Zahl z=x+iy also abbilden?
Wenn man sich das Teil einmal definiert hat, ist das Nachrechnen, dass es ein Isomorphismus ist, nicht mehr schwer.

Deine Überlegungen zu 2) sollten passen! smile

Grüße
sibelius84
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